Номер 533, страница 250 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 533, страница 250.

Условие.

533.— Постройте график функции, обратной к f:

а) $f(x) = 2x^3 + 1$;

б) $f(x) = (x + 1)^2$, $x \in (-\infty; -1];$

в) $f(x) = -2x^3 + 1$;

г) $f(x) = (x - 1)^2$, $x \in [1; \infty).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дана функция $f(x) = 2x^3 + 1$. Чтобы найти обратную к ней функцию, $f^{-1}(x)$, и построить ее график, выполним следующие шаги:
1. Обозначим $y = f(x)$, то есть $y = 2x^3 + 1$. Область определения $D(f)$ и область значений $E(f)$ этой функции — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 2x^3 + 1$:
$y - 1 = 2x^3$
$x^3 = \frac{y-1}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{y-1}{2}}$
3. Поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде. Получаем: $y = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$.
Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$.
4. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)=2x^3+1$ — это кубическая парабола, растянутая в 2 раза вдоль оси OY и смещенная на 1 единицу вверх. Ее точка перегиба — $(0, 1)$. График обратной функции $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$ можно построить, отразив график $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Это будет график функции кубического корня, смещенный на 1 единицу вправо по оси OX, с измененным масштабом. Его точка перегиба — $(1, 0)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x-1}{2}}$. Ее график симметричен графику функции $f(x) = 2x^3+1$ относительно прямой $y=x$.

б) Дана функция $f(x) = (x+1)^2$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$.
1. Обозначим $y = (x+1)^2$. Область определения задана: $D(f) = (-\infty; -1]$. Найдем область значений. Так как $x \le -1$, то $x+1 \le 0$. При возведении в квадрат получаем $(x+1)^2 \ge 0$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{y} = |x+1|$.
Поскольку $x \in (-\infty; -1]$, то $x+1 \le 0$, и, следовательно, $|x+1| = -(x+1)$.
$\sqrt{y} = -(x+1)$
$x+1 = -\sqrt{y}$
$x = -\sqrt{y} - 1$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = -\sqrt{x} - 1$.
Итак, $f^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 1$.
4. Область определения обратной функции — это область значений исходной: $D(f^{-1}) = [0; +\infty)$. Область значений обратной функции — это область определения исходной: $E(f^{-1}) = (-\infty; -1]$.
5. График исходной функции $f(x)$ — это левая ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Его можно построить, взяв график функции $y=\sqrt{x}$, отразив его симметрично относительно оси OX (получим $y=-\sqrt{x}$) и затем сместив на 1 единицу вниз. Это ветвь параболы, открывающейся влево, с началом в точке $(0, -1)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 1$. Ее график симметричен графику функции $f(x)=(x+1)^2$ на промежутке $x \in (-\infty; -1]$ относительно прямой $y=x$.

в) Дана функция $f(x) = -2x^3 + 1$.
1. Обозначим $y = -2x^3 + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$y - 1 = -2x^3$
$x^3 = \frac{y-1}{-2} = \frac{1-y}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{1-y}{2}}$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем: $y = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$.
Итак, обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$.
4. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику исходной функции $f(x)$ относительно прямой $y=x$. График $f(x)=-2x^3+1$ — это убывающая кубическая парабола с точкой перегиба в $(0, 1)$. График обратной функции $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$ можно построить, отразив график $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Это также будет убывающая функция с точкой перегиба в $(1, 0)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{1-x}{2}}$. Ее график симметричен графику функции $f(x) = -2x^3+1$ относительно прямой $y=x$.

г) Дана функция $f(x) = (x-1)^2$ на промежутке $x \in [1; \infty)$.
1. Обозначим $y = (x-1)^2$. Область определения задана: $D(f) = [1; \infty)$. Найдем область значений. Так как $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$. При возведении в квадрат получаем $(x-1)^2 \ge 0$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$.
2. Выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{y} = |x-1|$.
Поскольку $x \in [1; \infty)$, то $x-1 \ge 0$, и, следовательно, $|x-1| = x-1$.
$\sqrt{y} = x-1$
$x = \sqrt{y} + 1$
3. Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \sqrt{x} + 1$.
Итак, $f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$.
4. Область определения обратной функции — это область значений исходной: $D(f^{-1}) = [0; +\infty)$. Область значений обратной функции — это область определения исходной: $E(f^{-1}) = [1; \infty)$.
5. График исходной функции $f(x)$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(1, 0)$. График обратной функции $f^{-1}(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно прямой $y=x$. Его можно построить, сместив стандартный график функции $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вверх. Это ветвь параболы, открывающейся вправо, с началом в точке $(0, 1)$.
Ответ: Обратная функция $f^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$. Ее график симметричен графику функции $f(x)=(x-1)^2$ на промежутке $x \in [1; \infty)$ относительно прямой $y=x$.