Номер 539, страница 255 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 539, страница 255.

Условие.

539. a) $y = e^x \cos x$;

б) $y = 3e^x + 2^x$;

в) $y = 3^x - 3x^2$;

г) $y = x^2 e^x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = e^x \cos x$

Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \cos x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной произведения:

$y' = (e^x \cos x)' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x$.

Вынесем общий множитель $e^x$ за скобки:

$y' = e^x(\cos x - \sin x)$.

Ответ: $y' = e^x(\cos x - \sin x)$

б) $y = 3e^x + 2x$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

Производная первого слагаемого: $(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Сложим полученные производные:

$y' = (3e^x)' + (2x)' = 3e^x + 2$.

Ответ: $y' = 3e^x + 2$

в) $y = 3^x - 3x^2$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную каждого члена функции:

Производная первого члена (показательная функция $a^x$): $(3^x)' = 3^x \ln 3$.

Производная второго члена (степенная функция): $(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Вычтем вторую производную из первой:

$y' = (3^x)' - (3x^2)' = 3^x \ln 3 - 6x$.

Ответ: $y' = 3^x \ln 3 - 6x$

г) $y = x^2e^x$

Здесь снова применяем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^x$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (e^x)' = e^x$

Подставим значения в формулу:

$y' = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$.

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки для упрощения:

$y' = xe^x(2 + x)$.

Ответ: $y' = xe^x(x+2)$