Номер 529, страница 246 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 529, страница 246.

Условие.

Решите системы уравнений (529—530).

529.—

а) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (x+y) = 2, \\ \log_3 (x-y) = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \lg (x^2 + y^2) = 2, \\ \log_{48} x + \log_{48} y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} y = 2, \\ \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} y = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \lg (x^2 + y^2) = 1 + \lg 13, \\ \lg (x+y) = \lg (x-y) + \lg 8. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x+y) = 2 \\ \log_3(x-y) = 2 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями положительности аргументов логарифмов:
$x+y > 0$ и $x-y > 0$.
Используя определение логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), преобразуем оба уравнения.
Из первого уравнения: $ x+y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $.
Из второго уравнения: $ x-y = 3^2 = 9 $.
В результате получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x+y = \frac{1}{9} \\ x-y = 9 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $ (x+y) + (x-y) = \frac{1}{9} + 9 \implies 2x = \frac{1+81}{9} \implies 2x = \frac{82}{9} \implies x = \frac{41}{9} $.
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $ \frac{41}{9} + y = \frac{1}{9} \implies y = \frac{1}{9} - \frac{41}{9} = -\frac{40}{9} $.
Проверим найденное решение на соответствие ОДЗ:
$ x+y = \frac{41}{9} - \frac{40}{9} = \frac{1}{9} > 0 $.
$ x-y = \frac{41}{9} - (-\frac{40}{9}) = \frac{81}{9} = 9 > 0 $.
Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $( \frac{41}{9}; -\frac{40}{9} )$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 2 \\ \log_{48}x + \log_{48}y = 1 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 0 $, $ y > 0 $ (из второго уравнения), что автоматически обеспечивает $ x^2 + y^2 > 0 $.
Преобразуем первое уравнение ($ \lg $ — это логарифм по основанию 10):
$ x^2 + y^2 = 10^2 = 100 $.
Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $:
$ \log_{48}(xy) = 1 \implies xy = 48^1 = 48 $.
Получаем систему:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ xy = 48 \end{cases} $
Рассмотрим тождество $ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy $. Подставим известные значения:
$ (x+y)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196 $.
$ x+y = \pm\sqrt{196} = \pm 14 $. Поскольку по ОДЗ $x>0$ и $y>0$, их сумма должна быть положительной, следовательно $ x+y=14 $.
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} x+y=14 \\ xy=48 \end{cases} $
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $ t^2 - 14t + 48 = 0 $.
Решаем уравнение: $ (t-6)(t-8)=0 $. Корни $ t_1 = 6, t_2 = 8 $.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6; 8)$, $(8; 6)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}x + \log_{\frac{1}{3}}y = 2 \\ \log_{\frac{1}{3}}x - \log_{\frac{1}{3}}y = 4 \end{cases} $
ОДЗ: $ x > 0 $, $ y > 0 $.
Сделаем замену переменных. Пусть $ A = \log_{\frac{1}{3}}x $ и $ B = \log_{\frac{1}{3}}y $. Система примет вид:
$ \begin{cases} A + B = 2 \\ A - B = 4 \end{cases} $
Сложим уравнения: $ 2A = 6 \implies A = 3 $.
Подставим $A=3$ в первое уравнение: $ 3 + B = 2 \implies B = -1 $.
Вернемся к исходным переменным:
$ \log_{\frac{1}{3}}x = 3 \implies x = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27} $.
$ \log_{\frac{1}{3}}y = -1 \implies y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 $.
Проверим ОДЗ: $ x = \frac{1}{27} > 0 $ и $ y=3 > 0 $. Решение корректно.

Ответ: $( \frac{1}{27}; 3 )$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 1 + \lg 13 \\ \lg(x+y) = \lg(x-y) + \lg 8 \end{cases} $
ОДЗ: $ x^2+y^2>0 $, $ x+y>0 $, $ x-y>0 $. Из последних двух неравенств следует, что $ x>y $ и $ x>0 $. Складывая их, получаем $2x>0 \implies x>0$. Если $x>y$, то $x+y > y+y=2y$. Так как $x+y>0$, то $2y$ может быть любого знака. Однако, вычитая второе из первого, получаем $2y>0 \implies y>0$. Итак, ОДЗ: $ x>y>0 $.
Преобразуем первое уравнение, зная что $ 1 = \lg 10 $:
$ \lg(x^2 + y^2) = \lg 10 + \lg 13 = \lg(10 \cdot 13) = \lg 130 $.
Отсюда $ x^2 + y^2 = 130 $.
Преобразуем второе уравнение:
$ \lg(x+y) = \lg(8(x-y)) $.
Отсюда $ x+y = 8(x-y) \implies x+y = 8x-8y \implies 9y = 7x \implies y = \frac{7}{9}x $.
Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:
$ x^2 + (\frac{7}{9}x)^2 = 130 $
$ x^2 + \frac{49}{81}x^2 = 130 $
$ x^2(1 + \frac{49}{81}) = 130 $
$ x^2(\frac{81+49}{81}) = 130 $
$ x^2(\frac{130}{81}) = 130 $
$ x^2 = 81 $.
Поскольку по ОДЗ $x>0$, то $ x=9 $.
Находим $y$: $ y = \frac{7}{9}x = \frac{7}{9} \cdot 9 = 7 $.
Проверим ОДЗ: $ x=9 > y=7 > 0 $. Все условия выполнены.

Ответ: $(9; 7)$.