Номер 522, страница 245 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 522, страница 245.

Условие.

Решите уравнения (522–524).

522. – а) $\frac{1}{\lg x + 1} + \frac{6}{\lg x + 5} = 1;$

б) $\log_2 \frac{x}{4} = \frac{15}{\log_2 \frac{x}{8} - 1};$

в) $\frac{2 \lg x}{\lg (5x - 4)} = 1;$

г) $\frac{1}{\lg x - 6} + \frac{5}{\lg x + 2} = 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\frac{1}{\lg x + 1} + \frac{6}{\lg x + 5} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\lg x + 1 \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} \implies x \neq 0.1$.
$\lg x + 5 \neq 0 \implies \lg x \neq -5 \implies x \neq 10^{-5}$.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 0.1, x \neq 0.00001$.

Введем замену: пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t + 1} + \frac{6}{t + 5} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(t+5) + 6(t+1)}{(t+1)(t+5)} = 1$
$\frac{t+5+6t+6}{t^2+5t+t+5} = 1$
$\frac{7t+11}{t^2+6t+5} = 1$
$7t+11 = t^2+6t+5$
$t^2 - t - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = 3 \implies x = 10^3 = 1000$.
2. $\lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0.01$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1000; 0.01$.

б) $\log_2 \frac{x}{4} = \frac{15}{\log_2 \frac{x}{8} - 1}$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\log_2 \frac{x}{8} - 1 \neq 0 \implies \log_2 \frac{x}{8} \neq 1 \implies \frac{x}{8} \neq 2^1 \implies x \neq 16$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 16$.

Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:
$\log_2 x - \log_2 4 = \frac{15}{(\log_2 x - \log_2 8) - 1}$
$\log_2 x - 2 = \frac{15}{(\log_2 x - 3) - 1}$
$\log_2 x - 2 = \frac{15}{\log_2 x - 4}$

Введем замену: пусть $t = \log_2 x$.
$t - 2 = \frac{15}{t - 4}$
$(t-2)(t-4) = 15$
$t^2 - 4t - 2t + 8 = 15$
$t^2 - 6t - 7 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 6$
$t_1 \cdot t_2 = -7$
Корни: $t_1 = 7$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:
1. $\log_2 x = 7 \implies x = 2^7 = 128$.
2. $\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = 0.5$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $128; 0.5$.

в) $\frac{2 \lg x}{\lg(5x-4)} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $5x-4 > 0 \implies 5x > 4 \implies x > 0.8$.
3. $\lg(5x-4) \neq 0 \implies 5x-4 \neq 1 \implies 5x \neq 5 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x > 0.8, x \neq 1$.

$2 \lg x = \lg(5x-4)$
Используем свойство степени логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\lg(x^2) = \lg(5x-4)$
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 5x-4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни по ОДЗ:
1. $x_1 = 4$. Удовлетворяет условиям $x > 0.8$ и $x \neq 1$.
2. $x_2 = 1$. Не удовлетворяет условию $x \neq 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, решением является только $x=4$.

Ответ: $4$.

г) $\frac{1}{\lg x - 6} + \frac{5}{\lg x + 2} = 1$

ОДЗ:
1. $x > 0$.
2. $\lg x - 6 \neq 0 \implies \lg x \neq 6 \implies x \neq 10^6$.
3. $\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} \implies x \neq 0.01$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 10^6, x \neq 0.01$.

Введем замену: пусть $t = \lg x$.
$\frac{1}{t - 6} + \frac{5}{t + 2} = 1$
$\frac{(t+2) + 5(t-6)}{(t-6)(t+2)} = 1$
$\frac{t+2+5t-30}{t^2+2t-6t-12} = 1$
$\frac{6t-28}{t^2-4t-12} = 1$
$6t-28 = t^2-4t-12$
$t^2 - 10t + 16 = 0$
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 10$
$t_1 \cdot t_2 = 16$
Корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:
1. $\lg x = 8 \implies x = 10^8$.
2. $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^8; 100$.