Номер 518, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 518, страница 244.
№518 (с. 244)
Условие. №518 (с. 244)
скриншот условия

Решите уравнения (518—520).
518.-
a) $ \log_a x = 2 \log_a 3 + \log_a 5; $
б) $ \lg (x - 9) + \lg (2x - 1) = 2; $
в) $ \log_a x = \log_a 10 - \log_a 2; $
г) $ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1. $
Решение 1. №518 (с. 244)


Решение 3. №518 (с. 244)


Решение 5. №518 (с. 244)
а) $log_{a}x = 2log_{a}3 + log_{a}5$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$, а также основание логарифма $a > 0$ и $a \ne 1$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:
1. Используем свойство степени логарифма $n \cdot log_{b}m = log_{b}(m^n)$:
$2log_{a}3 = log_{a}(3^2) = log_{a}9$
2. Используем свойство суммы логарифмов $log_{b}m + log_{b}n = log_{b}(m \cdot n)$:
$log_{a}9 + log_{a}5 = log_{a}(9 \cdot 5) = log_{a}45$
Теперь уравнение имеет вид:
$log_{a}x = log_{a}45$
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x = 45$
Полученное значение $x = 45$ удовлетворяет ОДЗ ($45 > 0$).
Ответ: 45
б) $lg(x - 9) + lg(2x - 1) = 2$
Данное уравнение содержит десятичные логарифмы ($lg$ - это $log_{10}$). Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - 9 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x > 0.5 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.
Используем свойство суммы логарифмов:
$lg((x-9)(2x-1)) = 2$
По определению логарифма ($log_{b}a = c \iff a=b^c$), переходим к показательному уравнению:
$(x-9)(2x-1) = 10^2$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$2x^2 - x - 18x + 9 = 100$
$2x^2 - 19x + 9 - 100 = 0$
$2x^2 - 19x - 91 = 0$
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2$.
Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 33}{4} = \frac{52}{4} = 13$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 9$):
Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию $13 > 9$.
Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию $x > 9$, следовательно, является посторонним.
Ответ: 13
в) $log_{a}x = log_{a}10 - log_{a}2$
ОДЗ: $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$.
Используем свойство разности логарифмов $log_{b}m - log_{b}n = log_{b}(\frac{m}{n})$:
$log_{a}x = log_{a}(\frac{10}{2})$
$log_{a}x = log_{a}5$
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = 5$
Значение $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$).
Ответ: 5
г) $log_{3}(x+1) + log_{3}(x+3) = 1$
Найдем ОДЗ, исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > -1$.
Применяем свойство суммы логарифмов:
$log_{3}((x+1)(x+3)) = 1$
По определению логарифма:
$(x+1)(x+3) = 3^1$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$x^2 + 3x + x + 3 = 3$
$x^2 + 4x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x > -1$ и является посторонним.
Ответ: 0
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 518 расположенного на странице 244 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №518 (с. 244), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.