Номер 518, страница 244 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 518, страница 244.

Условие.

Решите уравнения (518—520).

518.-

a) $ \log_a x = 2 \log_a 3 + \log_a 5; $

б) $ \lg (x - 9) + \lg (2x - 1) = 2; $

в) $ \log_a x = \log_a 10 - \log_a 2; $

г) $ \log_3 (x + 1) + \log_3 (x + 3) = 1. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $log_{a}x = 2log_{a}3 + log_{a}5$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$, а также основание логарифма $a > 0$ и $a \ne 1$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов:

1. Используем свойство степени логарифма $n \cdot log_{b}m = log_{b}(m^n)$:

$2log_{a}3 = log_{a}(3^2) = log_{a}9$

2. Используем свойство суммы логарифмов $log_{b}m + log_{b}n = log_{b}(m \cdot n)$:

$log_{a}9 + log_{a}5 = log_{a}(9 \cdot 5) = log_{a}45$

Теперь уравнение имеет вид:

$log_{a}x = log_{a}45$

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x = 45$

Полученное значение $x = 45$ удовлетворяет ОДЗ ($45 > 0$).

Ответ: 45

б) $lg(x - 9) + lg(2x - 1) = 2$

Данное уравнение содержит десятичные логарифмы ($lg$ - это $log_{10}$). Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 9 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 9 \\ x > 0.5 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 9$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$lg((x-9)(2x-1)) = 2$

По определению логарифма ($log_{b}a = c \iff a=b^c$), переходим к показательному уравнению:

$(x-9)(2x-1) = 10^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 - x - 18x + 9 = 100$

$2x^2 - 19x + 9 - 100 = 0$

$2x^2 - 19x - 91 = 0$

Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2$.

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 33}{4} = \frac{52}{4} = 13$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 9$):

Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию $13 > 9$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию $x > 9$, следовательно, является посторонним.

Ответ: 13

в) $log_{a}x = log_{a}10 - log_{a}2$

ОДЗ: $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$.

Используем свойство разности логарифмов $log_{b}m - log_{b}n = log_{b}(\frac{m}{n})$:

$log_{a}x = log_{a}(\frac{10}{2})$

$log_{a}x = log_{a}5$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 5$

Значение $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$).

Ответ: 5

г) $log_{3}(x+1) + log_{3}(x+3) = 1$

Найдем ОДЗ, исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > -1$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_{3}((x+1)(x+3)) = 1$

По определению логарифма:

$(x+1)(x+3) = 3^1$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 + 3x + x + 3 = 3$

$x^2 + 4x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1$.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $x > -1$ и является посторонним.

Ответ: 0