Номер 507, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции - номер 507, страница 241.

Условие.

507. Постройте график функции:

а) $y = \log_3 (x - 2);$

б) $y = -\log_{\frac{1}{2}} x;$

в) $y = \log_2 (x + 1);$

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = \log_3 (x - 2)$

Для построения графика данной функции мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y_0 = \log_3 x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Решаем неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$. Таким образом, $D(y) = (2; +\infty)$.
• Асимптота: График имеет вертикальную асимптоту. Для базовой функции $y_0 = \log_3 x$ асимптотой является ось Oy (прямая $x=0$). В нашем случае из-за сдвига асимптотой будет прямая $x = 2$.
• Монотонность: Основание логарифма $a=3 > 1$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_3(x - 2)$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_3 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox на 2 единицы вправо.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс, для этого положим $y = 0$:
$\log_3(x - 2) = 0$
$x - 2 = 3^0$
$x - 2 = 1$
$x = 3$.
Получаем точку (3, 0).
• Найдем еще несколько точек для более точного построения:
Если $x = 5$, то $y = \log_3(5 - 2) = \log_3 3 = 1$. Точка (5, 1).
Если $x = 11$, то $y = \log_3(11 - 2) = \log_3 9 = 2$. Точка (11, 2).

4. Построение графика.
В системе координат строим вертикальную асимптоту $x=2$. Затем отмечаем вычисленные точки (3, 0), (5, 1) и соединяем их плавной линией, учитывая, что функция возрастает и приближается к асимптоте при $x \to 2^+$.

Ответ: График функции $y = \log_3 (x - 2)$ — это график $y = \log_3 x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 2$. График проходит через точки (3, 0) и (5, 1).

б) $y = -\log_{\frac{1}{2}} x$

Для построения графика данной функции сначала упростим ее выражение, используя свойства логарифмов.

1. Преобразование выражения функции.
Используем свойство логарифма $-\log_a b = \log_{1/a} b$ или $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Основание $\frac{1}{2}$ можно представить как $2^{-1}$.
$y = -\log_{2^{-1}} x = -(\frac{1}{-1} \log_2 x) = -(-\log_2 x) = \log_2 x$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \log_2 x$.

2. Определение свойств функции $y = \log_2 x$.
• Область определения: Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy).
• Монотонность: Основание логарифма $a=2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1$. Точка (1, 0).
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 2$, то $y = \log_2 2 = 1$. Точка (2, 1).
Если $x = 4$, то $y = \log_2 4 = 2$. Точка (4, 2).
Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = \log_2 \frac{1}{2} = -1$. Точка ($\frac{1}{2}$, -1).

4. Построение графика.
В системе координат отмечаем точки (1, 0), (2, 1), (4, 2), ($\frac{1}{2}$, -1) и соединяем их плавной возрастающей кривой, которая асимптотически приближается к оси Oy при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = -\log_{\frac{1}{2}} x$ совпадает с графиком функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $x = 0$, проходящая через точки (1, 0) и (2, 1).

в) $y = \log_2 (x + 1)$

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = \log_2 x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = -1$.
• Монотонность: Основание логарифма $a=2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_2(x + 1)$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_2 x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox на 1 единицу влево.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осями координат:
При $y = 0$: $\log_2(x + 1) = 0 \Rightarrow x + 1 = 2^0 = 1 \Rightarrow x = 0$. Точка пересечения с обеими осями — (0, 0), начало координат.
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 1$, то $y = \log_2(1 + 1) = \log_2 2 = 1$. Точка (1, 1).
Если $x = 3$, то $y = \log_2(3 + 1) = \log_2 4 = 2$. Точка (3, 2).
Если $x = -\frac{1}{2}$, то $y = \log_2(-\frac{1}{2} + 1) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$. Точка ($-\frac{1}{2}$, -1).

4. Построение графика.
Строим вертикальную асимптоту $x=-1$. Отмечаем точки (0, 0), (1, 1), (3, 2) и соединяем их плавной возрастающей кривой.

Ответ: График функции $y = \log_2 (x + 1)$ — это график $y = \log_2 x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$. График проходит через начало координат (0, 0) и точку (1, 1).

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$

Построение графика этой функции основано на преобразовании графика базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$.

1. Определение свойств функции.
• Область определения: $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптота: Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy). Сдвиг по оси Oy не влияет на положение вертикальной асимптоты.
• Монотонность: Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

2. Преобразование графика.
График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ получается из графика базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 2 единицы вверх.

3. Нахождение контрольных точек для построения.
• Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$):
$\log_{\frac{1}{3}} x + 2 = 0$
$\log_{\frac{1}{3}} x = -2$
$x = (\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Получаем точку (9, 0).
• Найдем еще несколько точек:
Если $x = 1$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} 1 + 2 = 0 + 2 = 2$. Точка (1, 2).
Если $x = 3$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Точка (3, 1).
Если $x = \frac{1}{3}$, то $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка ($\frac{1}{3}$, 3).

4. Построение графика.
В системе координат отмечаем точки (9, 0), (1, 2), (3, 1). Соединяем их плавной убывающей кривой, которая асимптотически приближается к оси Oy при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ — это график $y = \log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. График проходит через точки (1, 2), (3, 1) и (9, 0).