Номер 506, страница 241 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 10. Показательная и логарифмическая функции. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 506, страница 241.

Условие.

506.— Найдите значение выражения:

а) $ \log_2 2 \sin \frac{\pi}{15} + \log_2 \cos \frac{\pi}{15} $;

б) $ \log_4 (\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{3}) + \log_4 (\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{21} + \sqrt[3]{9}) $;

в) $ \lg \operatorname{tg} 4 + \lg \operatorname{ctg} 4 $;

г) $ \log_\pi (5 + 2 \sqrt{6}) + \log_\pi (5 - 2 \sqrt{6}) $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения значения выражения $\log_2 2 \sin\frac{\pi}{15} + \log_2 \cos\frac{\pi}{15}$, будем исходить из наиболее вероятной его записи в виде суммы двух логарифмов: $\log_2(2\sin\frac{\pi}{15}) + \log_2(\cos\frac{\pi}{15})$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_2(2\sin\frac{\pi}{15}) + \log_2(\cos\frac{\pi}{15}) = \log_2(2\sin\frac{\pi}{15} \cos\frac{\pi}{15})$.
Далее применим формулу синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{15}$, поэтому $2\sin\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{15} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{15}) = \sin\frac{2\pi}{15}$.
Таким образом, итоговое значение выражения равно $\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})$.

Ответ: $\log_2(\sin\frac{2\pi}{15})$.

б) Дано выражение $\log_4 (\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}) + \log_4 (\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9})$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_4 ((\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}))$.
Выражение под логарифмом представляет собой формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{3}$, а второй множитель можно записать как $(\sqrt[3]{7})^2 + \sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2$.
Следовательно, произведение равно $(\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 7 - 3 = 4$.
Получаем: $\log_4(4) = 1$.

Ответ: 1.

в) Дано выражение $\lg \tg 4 + \lg \ctg 4$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\lg(\tg 4 \cdot \ctg 4)$.
Так как по основному тригонометрическому тождеству $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$, то их произведение $\tg 4 \cdot \ctg 4 = 1$ (при условии, что $\tg 4$ определен и не равен нулю, что выполняется).
Получаем: $\lg(1) = 0$.

Ответ: 0.

г) Дано выражение $\log_{\pi} (5+2\sqrt{6}) + \log_{\pi} (5-2\sqrt{6})$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.
$\log_{\pi} ((5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}))$.
Выражение в скобках является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Здесь $a=5$ и $b=2\sqrt{6}$.
Произведение равно $5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.
Получаем: $\log_{\pi}(1) = 0$.

Ответ: 0.