Номер 414, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 414, страница 213.

Условие.

414. a) $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$, где $a \le 0$;

б) $\sqrt[4]{a^4} + 2\sqrt[7]{a^7}$, где $a \ge 0$;

В) $\sqrt[5]{a^5} - \sqrt[6]{a^6}$, где $a \ge 0$;

Г) $\sqrt[3]{a^3} + 3\sqrt[8]{a^8}$, где $a \le 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при условии, что $a \le 0$, воспользуемся свойствами корней. Корень нечетной степени из числа в той же степени равен самому числу, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$. Корень четной степени (в данном случае, квадратный) из числа в той же степени равен модулю этого числа: $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $a - |a|$. Поскольку по условию $a \le 0$, модуль раскрывается как $|a| = -a$. Подставив это в выражение, получаем: $a - (-a) = a + a = 2a$.
Ответ: $2a$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^4} + 2\sqrt[7]{a^7}$ при условии, что $a \ge 0$. Корень четной степени $\sqrt[4]{a^4}$ равен $|a|$. Так как по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$. Корень нечетной степени $\sqrt[7]{a^7}$ равен $a$. Подставляем упрощенные части в исходное выражение и получаем: $a + 2a = 3a$.
Ответ: $3a$

в) Упростим выражение $\sqrt[5]{a^5} - \sqrt[6]{a^6}$ при условии, что $a \ge 0$. Корень нечетной степени $\sqrt[5]{a^5}$ равен $a$. Корень четной степени $\sqrt[6]{a^6}$ равен $|a|$. Поскольку по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$. Таким образом, выражение преобразуется к виду: $a - a = 0$.
Ответ: $0$

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3} + 3\sqrt[8]{a^8}$ при условии, что $a \le 0$. Корень нечетной степени $\sqrt[3]{a^3}$ равен $a$. Корень четной степени $\sqrt[8]{a^8}$ равен $|a|$. Так как по условию $a \le 0$, то $|a| = -a$. Подставляем упрощенные части в выражение: $a + 3|a| = a + 3(-a) = a - 3a = -2a$.
Ответ: $-2a$