Номер 404, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 404, страница 213.

Условие.

При каких значениях a верно равенство (404–405)?

404. а) $\sqrt{a^2} = -a$; б) $\sqrt[3]{a^3} = a$; в) $\sqrt[5]{a^5} = |a|$; г) $\sqrt[4]{a^4} = a$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано равенство $\sqrt{a^2} = -a$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2}$ всегда является неотрицательным числом и равен $|a|$. Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $|a| = -a$.

Равенство $|a| = -a$ верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неположительным. Рассмотрим два случая:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Равенство принимает вид $a = -a$, что эквивалентно $2a = 0$, откуда $a = 0$.

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Равенство принимает вид $-a = -a$, что является тождеством и верно для всех $a < 0$.

Объединяя оба случая, получаем, что равенство верно при $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

б) Дано равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени (в данном случае, показатель корня равен 3) из числа, возведенного в ту же степень, тождественно равен самому этому числу. Это свойство выполняется для любого действительного числа $a$, так как область определения корня нечетной степени — все действительные числа. Таким образом, $\sqrt[3]{a^3} = a$ является тождеством.

Ответ: $a \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

в) Дано равенство $\sqrt[5]{a^5} = |a|$.

Поскольку показатель корня (5) является нечетным числом, то $\sqrt[5]{a^5} = a$ для любого действительного $a$.

Тогда исходное равенство принимает вид $a = |a|$.

По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда число $a$ является неотрицательным. Если $a \ge 0$, равенство $a=a$ истинно. Если $a < 0$, равенство $a = -a$ истинно только при $a=0$, что противоречит условию $a < 0$.

Следовательно, равенство верно при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

г) Дано равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$.

Корень четной степени (показатель 4) из числа, возведенного в ту же степень, по определению равен модулю этого числа: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Тогда исходное равенство принимает вид $|a| = a$.

Как и в предыдущем пункте, это равенство верно тогда и только тогда, когда $a$ — неотрицательное число.

Ответ: $a \ge 0$.