Номер 399, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 399, страница 212.

Условие.

399.-

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{2}$ и $(\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2$;

б) $\sqrt[18]{\frac{3}{7}}$ и $\sqrt[18]{0,43}$;

в) $\sqrt[5]{2}$ и $\sqrt[5]{3}

г) $\sqrt[10]{0,8}$ и $1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Сравним числа $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} $ и $ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $. Для этого преобразуем оба выражения, чтобы привести их к корням с одинаковым показателем.

Первое выражение: $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} $. Внесем множитель $ \frac{1}{2} $ под знак корня. Так как $ \frac{1}{2} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} $, получаем:

$ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 2} = \sqrt[3]{\frac{2}{8}} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} $.

Второе выражение: $ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $. Используя свойство корня $ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $, получаем:

$ (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 = \sqrt[6]{(\frac{1}{2})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $.

Теперь сравним $ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} $ и $ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $. Приведем корни к общему показателю 6. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 6 равно 6.

$ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\frac{1}{4})^2} = \sqrt[6]{\frac{1}{16}} $.

Сравниваем $ \sqrt[6]{\frac{1}{16}} $ и $ \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $. Так как функция $ y = \sqrt[6]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $, достаточно сравнить подкоренные выражения: $ \frac{1}{16} $ и $ \frac{1}{4} $.

Поскольку $ 16 > 4 $, то $ \frac{1}{16} < \frac{1}{4} $. Следовательно, $ \sqrt[6]{\frac{1}{16}} < \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $.

Таким образом, $ \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt[6]{\frac{1}{4}} $, что означает $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} < (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\sqrt[3]{2} < (\sqrt[6]{\frac{1}{2}})^2 $.

б) Сравним числа $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} $ и $ \sqrt[18]{0,43} $.

Поскольку оба числа являются корнями одинаковой 18-й степени, а функция $ y = \sqrt[18]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $, нам достаточно сравнить подкоренные выражения: $ \frac{3}{7} $ и $ 0,43 $.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,43 = \frac{43}{100} $.

Сравним дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{43}{100} $. Для этого воспользуемся перекрестным умножением.

$ 3 \cdot 100 = 300 $.

$ 7 \cdot 43 = 7 \cdot (40 + 3) = 280 + 21 = 301 $.

Так как $ 300 < 301 $, то $ \frac{3}{7} < \frac{43}{100} $.

Следовательно, $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} < \sqrt[18]{0,43} $.

Ответ: $ \sqrt[18]{\frac{3}{7}} < \sqrt[18]{0,43} $.

в) Сравним числа $ \sqrt[5]{2} $ и $ \sqrt[5]{3} $.

Оба числа являются корнями 5-й степени. Функция $ y = \sqrt[5]{x} $ является возрастающей для всех действительных чисел.

Следовательно, достаточно сравнить подкоренные выражения: 2 и 3.

Поскольку $ 2 < 3 $, то $ \sqrt[5]{2} < \sqrt[5]{3} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{2} < \sqrt[5]{3} $.

г) Сравним числа $ \sqrt[10]{0,8} $ и 1.

Представим число 1 в виде корня 10-й степени: $ 1 = \sqrt[10]{1^{10}} = \sqrt[10]{1} $.

Теперь сравним $ \sqrt[10]{0,8} $ и $ \sqrt[10]{1} $.

Функция $ y = \sqrt[10]{x} $ является возрастающей для $ x \ge 0 $. Сравним подкоренные выражения: 0,8 и 1.

Поскольку $ 0,8 < 1 $, то $ \sqrt[10]{0,8} < \sqrt[10]{1} $.

Следовательно, $ \sqrt[10]{0,8} < 1 $.

Ответ: $ \sqrt[10]{0,8} < 1 $.