Номер 401, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 401, страница 212.

Условие.

401.-

а) $&sqrt[3]{-0,4}$ и $&sqrt[5]{-0,3}$;

б) $&sqrt[5]{-5}$ и $&sqrt[3]{-3}$;

в) $&sqrt[3]{-2}$ и $&sqrt[5]{-4}$;

г) $&sqrt[3]{-5}$ и $&sqrt[5]{-3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним числа $ \sqrt[3]{-0,4} $ и $ \sqrt[5]{-0,3} $.

Для сравнения чисел с разными показателями корня, приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 3 и 5 равно 15. Поскольку оба исходных числа отрицательные, а корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, мы можем возвести оба числа в нечетную степень 15. При этом знак неравенства сохранится, так как функция $ y=x^{15} $ является возрастающей на всей числовой оси.

Возведем первое число в 15-ю степень:$ (\sqrt[3]{-0,4})^{15} = (-0,4)^{15/3} = (-0,4)^5 = -(0,4^5) = -0,01024 $.

Возведем второе число в 15-ю степень:$ (\sqrt[5]{-0,3})^{15} = (-0,3)^{15/5} = (-0,3)^3 = -(0,3^3) = -0,027 $.

Теперь сравним полученные результаты: $ -0,01024 $ и $ -0,027 $.Так как $ 0,01024 < 0,027 $, то для отрицательных чисел $ -0,01024 > -0,027 $.

Следовательно, $ (\sqrt[3]{-0,4})^{15} > (\sqrt[5]{-0,3})^{15} $, а значит и $ \sqrt[3]{-0,4} > \sqrt[5]{-0,3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-0,4} > \sqrt[5]{-0,3} $.

б) Сравним числа $ \sqrt[5]{-5} $ и $ \sqrt[3]{-3} $.

Приведем корни к общему показателю, который равен $ НОК(5, 3) = 15 $. Возведем оба числа в 15-ю степень. Так как степень 15 нечетная, знак неравенства между исходными числами будет таким же, как и между их степенями.

$ (\sqrt[5]{-5})^{15} = (-5)^{15/5} = (-5)^3 = -125 $.

$ (\sqrt[3]{-3})^{15} = (-3)^{15/3} = (-3)^5 = -243 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -125 $ и $ -243 $.Поскольку $ 125 < 243 $, то $ -125 > -243 $.

Следовательно, $ \sqrt[5]{-5} > \sqrt[3]{-3} $.

Ответ: $ \sqrt[5]{-5} > \sqrt[3]{-3} $.

в) Сравним числа $ \sqrt[3]{-2} $ и $ \sqrt[5]{-4} $.

Приведем корни к общему показателю $ НОК(3, 5) = 15 $ и возведем оба числа в 15-ю степень. Знак неравенства при этом сохранится.

$ (\sqrt[3]{-2})^{15} = (-2)^{15/3} = (-2)^5 = -32 $.

$ (\sqrt[5]{-4})^{15} = (-4)^{15/5} = (-4)^3 = -64 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -32 $ и $ -64 $.Поскольку $ 32 < 64 $, то $ -32 > -64 $.

Следовательно, $ \sqrt[3]{-2} > \sqrt[5]{-4} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-2} > \sqrt[5]{-4} $.

г) Сравним числа $ \sqrt[3]{-5} $ и $ \sqrt[5]{-3} $.

Приведем корни к общему показателю $ НОК(3, 5) = 15 $ и возведем оба числа в 15-ю степень. Знак неравенства при этом сохранится.

$ (\sqrt[3]{-5})^{15} = (-5)^{15/3} = (-5)^5 = -3125 $.

$ (\sqrt[5]{-3})^{15} = (-3)^{15/5} = (-3)^3 = -27 $.

Сравниваем полученные результаты: $ -3125 $ и $ -27 $.Поскольку $ 3125 > 27 $, то $ -3125 < -27 $.

Следовательно, $ \sqrt[3]{-5} < \sqrt[5]{-3} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{-5} < \sqrt[5]{-3} $.