Номер 398, страница 212 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 398, страница 212.

Условие.

Сравните числа (398–401).

398.-

a) $ \sqrt[5]{0,2} $ и 0;

б) $ \sqrt[12]{0,4} $ и $ \sqrt[12]{\frac{5}{12}} $;

в) $ \sqrt[7]{1,8} $ и 1;

г) $ \sqrt[8]{0,2} $ и $ \sqrt[8]{0,3} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним числа $\sqrt[5]{0,2}$ и $0$.

Подкоренное выражение $0,2$ является положительным числом. Корень нечетной степени (в данном случае 5) из положительного числа всегда является положительным числом. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $\sqrt[5]{0,2} > 0$.

Ответ: $\sqrt[5]{0,2} > 0$.

б) Сравним числа $\sqrt[12]{0,4}$ и $\sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

Поскольку показатели корней одинаковы и равны 12, для сравнения этих чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения. Это связано с тем, что функция $y = \sqrt[12]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$.

Сравним подкоренные выражения: $0,4$ и $\frac{5}{12}$.

Переведем десятичную дробь $0,4$ в обыкновенную: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Теперь сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{12}$. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен $5 \cdot 12 = 60$.

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{24}{60}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

Так как $24 < 25$, то $\frac{24}{60} < \frac{25}{60}$, а значит $0,4 < \frac{5}{12}$.

Поскольку подкоренное выражение $0,4$ меньше, чем $\frac{5}{12}$, и функция корня 12-й степени возрастающая, то $\sqrt[12]{0,4} < \sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

Ответ: $\sqrt[12]{0,4} < \sqrt[12]{\frac{5}{12}}$.

в) Сравним числа $\sqrt[7]{1,8}$ и $1$.

Мы можем представить число $1$ как корень 7-й степени из 1: $1 = \sqrt[7]{1^7} = \sqrt[7]{1}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[7]{1,8}$ и $\sqrt[7]{1}$.

Функция $y = \sqrt[7]{x}$ является возрастающей для всех действительных чисел, так как показатель корня нечетный. Это значит, что большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня.

Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $1,8 > 1$.

Следовательно, $\sqrt[7]{1,8} > \sqrt[7]{1}$, что означает $\sqrt[7]{1,8} > 1$.

Ответ: $\sqrt[7]{1,8} > 1$.

г) Сравним числа $\sqrt[8]{0,2}$ и $\sqrt[8]{0,3}$.

Показатели корней у обоих чисел одинаковы и равны 8. Функция $y = \sqrt[8]{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, так как показатель корня четный, а подкоренные выражения неотрицательны. Поэтому для сравнения чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения.

Сравним подкоренные выражения: $0,2$ и $0,3$.

Так как $0,2 < 0,3$, и функция $y = \sqrt[8]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[8]{0,2} < \sqrt[8]{0,3}$.

Ответ: $\sqrt[8]{0,2} < \sqrt[8]{0,3}$.