Номер 405, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 405, страница 213.

Условие.

405. a) $\sqrt[3]{a^3} = -a;$
б) $\sqrt[6]{a^6} = -a;$
в) $\sqrt[4]{a^4} = |a|;$
г) $\sqrt[7]{a^7} = a.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Утверждение $\sqrt[3]{a^3} = -a$ в общем случае неверно.

По определению корня нечетной степени, для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. В данном выражении показатель корня $n=3$ является нечетным, следовательно, $\sqrt[3]{a^3} = a$ для любого $a \in \mathbb{R}$.

Равенство $a = -a$ выполняется только в одном случае: когда $a=0$. Для любого другого значения $a$ оно неверно. Например, если $a=2$, то $\sqrt[3]{2^3} = 2$, в то время как $-a = -2$. Если $a=-2$, то $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$, а $-a = -(-2) = 2$.

Ответ: Неверно.

б) Утверждение $\sqrt[6]{a^6} = -a$ в общем случае неверно.

По определению арифметического корня четной степени, для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, так как результат извлечения корня четной степени должен быть неотрицательным. В данном выражении показатель корня $n=6$ является четным, поэтому $\sqrt[6]{a^6} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно равенству $|a| = -a$. По определению модуля, это равенство верно только для всех неположительных чисел, то есть при $a \le 0$. Если $a > 0$, то $|a| = a$, и равенство не выполняется. Так как утверждение неверно для $a > 0$, оно не является тождеством.

Ответ: Неверно.

в) Утверждение $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ верно.

Это равенство является определением арифметического корня четной степени. Для любого действительного числа $a$ выражение $a^4$ неотрицательно. Корень четной степени ($n=4$) из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом. Модуль $|a|$ также всегда неотрицателен.

Если $a \ge 0$, то $\sqrt[4]{a^4} = a$ и $|a| = a$. Равенство верно.

Если $a < 0$, то $a^4 = (-1)^4 \cdot |a|^4 = |a|^4$. Тогда $\sqrt[4]{a^4} = \sqrt[4]{|a|^4} = |a|$, так как $|a| > 0$. Равенство также верно.

Следовательно, равенство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$ справедливо для всех действительных чисел $a$.

Ответ: Верно.

г) Утверждение $\sqrt[7]{a^7} = a$ верно.

Это равенство является свойством корня нечетной степени. Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ (в данном случае $n=7$) справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени может быть как положительным, так и отрицательным, и его знак совпадает со знаком подкоренного выражения.

Например, если $a=2$, то $\sqrt[7]{2^7} = 2$. Если $a=-2$, то $\sqrt[7]{(-2)^7} = \sqrt[7]{-128} = -2$. В обоих случаях $\sqrt[7]{a^7} = a$.

Ответ: Верно.