Номер 406, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 9. Обобщение понятия степени. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 406, страница 213.
№406 (с. 213)
Условие. №406 (с. 213)
скриншот условия

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406–407).
406. а) $\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;
б) $\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}}$;
в) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$;
г) $\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1}$.
Решение 1. №406 (с. 213)

Решение 3. №406 (с. 213)


Решение 4. №406 (с. 213)


Решение 5. №406 (с. 213)
а) Чтобы избавиться от знака корня в знаменателе, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ сопряженным является $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.
$\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}$
В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Таким образом, выражение преобразуется к виду:
$\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.
Ответ: $\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.
б) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(a+\sqrt{2})$ сопряженным является $(a-\sqrt{2})$.
$\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}} = \frac{(a-\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}{(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}$
В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}) = a^2 - (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2$.
В числителе применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$(a-\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + 2$.
В результате получаем дробь:
$\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.
Ответ: $\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.
в) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ сопряженным является $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$.
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}$
Используем формулу разности квадратов в знаменателе:
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.
Получаем выражение:
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.
г) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{6}-1)$ сопряженным является $(\sqrt{6}+1)$.
$\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1} = \frac{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}$
В знаменателе используем формулу разности квадратов:
$(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$.
В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(\sqrt{6}+1)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7+2\sqrt{6}$.
В результате получаем дробь:
$\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.
Ответ: $\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 406 расположенного на странице 213 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №406 (с. 213), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.