Номер 406, страница 213 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 9. Обобщение понятия степени - номер 406, страница 213.

Условие.

Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня (406–407).

406. а) $\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$;

б) $\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$;

г) $\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы избавиться от знака корня в знаменателе, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ сопряженным является $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$.

$\frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7}+\sqrt{5})}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.

Ответ: $\frac{3(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.

б) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(a+\sqrt{2})$ сопряженным является $(a-\sqrt{2})$.

$\frac{a-\sqrt{2}}{a+\sqrt{2}} = \frac{(a-\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}{(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})}$

В знаменателе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}) = a^2 - (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2$.

В числителе применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(a-\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = a^2 - 2a\sqrt{2} + 2$.

В результате получаем дробь:

$\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.

Ответ: $\frac{a^2 - 2a\sqrt{2} + 2}{a^2 - 2}$.

в) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ сопряженным является $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$.

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

Используем формулу разности квадратов в знаменателе:

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.

Получаем выражение:

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$.

г) Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для знаменателя $(\sqrt{6}-1)$ сопряженным является $(\sqrt{6}+1)$.

$\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-1} = \frac{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)}$

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$.

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{6}+1)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7+2\sqrt{6}$.

В результате получаем дробь:

$\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $\frac{7+2\sqrt{6}}{5}$.