Номер 317, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 317, страница 159.

Условие.

317.— Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения этой задачи по оптимизации нам необходимо найти размеры открытого бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.

Пусть $a$ — сторона квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как объем дан в литрах, а $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$.

Заданный объем бака $V = 13.5 \text{ л} = 13.5 \text{ дм}^3$.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием:

$V = a^2h$

Отсюда следует наше основное ограничение: $a^2h = 13.5$.

Количество металла, необходимое для изготовления бака, пропорционально площади его поверхности $S$. Так как бак открытый (без верхней крышки), его поверхность состоит из площади основания и площади четырех боковых стенок.

Площадь основания: $S_{осн} = a^2$

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$

Суммарная площадь поверхности, которую нужно минимизировать:

$S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$

Чтобы найти минимум функции $S(a, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$:

$h = \frac{13.5}{a^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = a^2 + 4a \left( \frac{13.5}{a^2} \right) = a^2 + \frac{54}{a}$

Для нахождения минимального значения функции $S(a)$, найдем ее производную по $a$ и приравняем ее к нулю.

$S'(a) = \frac{d}{da} \left( a^2 + 54a^{-1} \right) = 2a - 54a^{-2} = 2a - \frac{54}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$2a - \frac{54}{a^2} = 0$

$2a = \frac{54}{a^2}$

$2a^3 = 54$

$a^3 = 27$

$a = \sqrt[3]{27} = 3$

Таким образом, сторона основания равна 3 дм. Убедимся, что это точка минимума, проверив знак второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da} \left( 2a - 54a^{-2} \right) = 2 + 108a^{-3} = 2 + \frac{108}{a^3}$

При $a=3$, $S''(3) = 2 + \frac{108}{27} = 2+4=6$. Так как $S''(3) > 0$, то при $a=3$ функция $S(a)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{13.5}{a^2} = \frac{13.5}{3^2} = \frac{13.5}{9} = 1.5$

Следовательно, высота бака равна 1,5 дм.

Ответ: для того чтобы на изготовление бака потребовалось наименьшее количество металла, сторона его квадратного основания должна быть равна 3 дм, а высота — 1,5 дм.