Номер 317, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 317, страница 159.
№317 (с. 159)
Условие. №317 (с. 159)
скриншот условия

317.— Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?
Решение 1. №317 (с. 159)

Решение 5. №317 (с. 159)
Для решения этой задачи по оптимизации нам необходимо найти размеры открытого бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.
Пусть $a$ — сторона квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как объем дан в литрах, а $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$.
Заданный объем бака $V = 13.5 \text{ л} = 13.5 \text{ дм}^3$.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием:
$V = a^2h$
Отсюда следует наше основное ограничение: $a^2h = 13.5$.
Количество металла, необходимое для изготовления бака, пропорционально площади его поверхности $S$. Так как бак открытый (без верхней крышки), его поверхность состоит из площади основания и площади четырех боковых стенок.
Площадь основания: $S_{осн} = a^2$
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$
Суммарная площадь поверхности, которую нужно минимизировать:
$S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$
Чтобы найти минимум функции $S(a, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$:
$h = \frac{13.5}{a^2}$
Теперь подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $a$:
$S(a) = a^2 + 4a \left( \frac{13.5}{a^2} \right) = a^2 + \frac{54}{a}$
Для нахождения минимального значения функции $S(a)$, найдем ее производную по $a$ и приравняем ее к нулю.
$S'(a) = \frac{d}{da} \left( a^2 + 54a^{-1} \right) = 2a - 54a^{-2} = 2a - \frac{54}{a^2}$
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$2a - \frac{54}{a^2} = 0$
$2a = \frac{54}{a^2}$
$2a^3 = 54$
$a^3 = 27$
$a = \sqrt[3]{27} = 3$
Таким образом, сторона основания равна 3 дм. Убедимся, что это точка минимума, проверив знак второй производной:
$S''(a) = \frac{d}{da} \left( 2a - 54a^{-2} \right) = 2 + 108a^{-3} = 2 + \frac{108}{a^3}$
При $a=3$, $S''(3) = 2 + \frac{108}{27} = 2+4=6$. Так как $S''(3) > 0$, то при $a=3$ функция $S(a)$ достигает своего минимума.
Теперь найдем соответствующую высоту $h$:
$h = \frac{13.5}{a^2} = \frac{13.5}{3^2} = \frac{13.5}{9} = 1.5$
Следовательно, высота бака равна 1,5 дм.
Ответ: для того чтобы на изготовление бака потребовалось наименьшее количество металла, сторона его квадратного основания должна быть равна 3 дм, а высота — 1,5 дм.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 317 расположенного на странице 159 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №317 (с. 159), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.