Номер 316, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 316, страница 159.

Условие.

316.— Площадь прямоугольника $64 \text{ см}^2$. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим длину и ширину прямоугольника как $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется формулой $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна $64 \text{ см}^2$, следовательно, мы имеем уравнение:
$a \cdot b = 64$

Периметр прямоугольника $P$ определяется формулой $P = 2(a + b)$. Нам необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых значение $P$ будет наименьшим.

Для решения этой задачи оптимизации выразим одну переменную через другую, используя уравнение для площади. Например, выразим $b$ через $a$:
$b = \frac{64}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Таким образом, периметр станет функцией одной переменной $a$:
$P(a) = 2\left(a + \frac{64}{a}\right)$

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, нужно найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю.
$P'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a + \frac{128}{a} \right) = 2 - \frac{128}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$2 - \frac{128}{a^2} = 0$
$2 = \frac{128}{a^2}$
$2a^2 = 128$
$a^2 = 64$

Поскольку $a$ — это длина стороны, она должна быть положительной величиной. Следовательно, мы берем только положительный корень уравнения:
$a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$

Чтобы проверить, что найденная точка является точкой минимума, можно найти вторую производную:
$P''(a) = \frac{d}{da} \left( 2 - 128a^{-2} \right) = (-2)(-128)a^{-3} = \frac{256}{a^3}$.
При $a=8$, значение второй производной $P''(8) = \frac{256}{8^3}$ будет положительным, что подтверждает, что в этой точке функция периметра достигает своего минимума.

Теперь, зная значение $a$, найдем значение $b$:
$b = \frac{64}{a} = \frac{64}{8} = 8 \text{ см}$

Таким образом, для того чтобы периметр был наименьшим при заданной площади, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 8 см и 8 см.