Страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Исследуйте функцию и постройте ее график (296–297).

296.—

а) $f(x) = x^2 - 2x + 8;$

б) $f(x) = -\frac{2x^2}{3} + x + \frac{2}{3};$

в) $f(x) = -x^2 + 5x + 4;$

г) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4}.$

а) $f(x) = x^2 - 2x + 8$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. График функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = f(x_v) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.

4. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = x_v$, то есть $x = 1$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $x^2 - 2x + 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1, 7)$, а ветви направлены вверх.

6. Свойства функции:

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине: $y_{min} = 7$.

Область значений функции: $E(f) = [7; +\infty)$.

7. Построение графика:

Для построения графика отметим вершину $(1, 7)$, точку пересечения с осью OY $(0, 8)$ и симметричную ей точку $(2, 8)$ относительно оси симметрии $x=1$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 7)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=1$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 8)$ и не пересекает ось OX.

б) $f(x) = -\frac{2x^2}{3} + x + \frac{2}{3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = -2/3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-2/3)} = -\frac{1}{-4/3} = \frac{3}{4}$.

Ордината вершины: $y_v = f(3/4) = -\frac{2}{3}(\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{2}{3} = \frac{3}{8} + \frac{2}{3} = \frac{9+16}{24} = \frac{25}{24}$.

Вершина параболы: $(\frac{3}{4}, \frac{25}{24})$.

4. Ось симметрии параболы: $x = 3/4$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = -\frac{2 \cdot 0^2}{3} + 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(0, 2/3)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $-\frac{2}{3}x^2 + x + \frac{2}{3} = 0$. Умножим уравнение на $-3/2$: $x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$. Или, умножив исходное на 3: $-2x^2+3x+2=0 \implies 2x^2-3x-2=0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$, $x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$. Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-1/2, 0)$.

6. Свойства функции:

Функция возрастает на $(-\infty, 3/4]$ и убывает на $[3/4, +\infty)$.

Наибольшее значение: $y_{max} = 25/24$.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 25/24]$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(0.75, 1.04)$, точки пересечения с осями $(-0.5, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2/3)$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(\frac{3}{4}, \frac{25}{24})$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=3/4$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2/3)$ и ось OX в точках $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$.

в) $f(x) = -x^2 + 5x + 4$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ордината вершины: $y_v = f(2.5) = -(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25$.

Вершина параболы: $(2.5, 10.25)$.

4. Ось симметрии параболы: $x = 2.5$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = -0^2 + 5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $-x^2 + 5x + 4 = 0 \implies x^2 - 5x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{5 - \sqrt{41}}{2}, 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{41}}{2}, 0)$. (Приблизительно $(-0.7, 0)$ и $(5.7, 0)$).

6. Свойства функции:

Функция возрастает на $(-\infty, 2.5]$ и убывает на $[2.5, +\infty)$.

Наибольшее значение: $y_{max} = 10.25$.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 10.25]$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(2.5, 10.25)$, точку пересечения с осью OY $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(5, 4)$. Также отмечаем точки пересечения с осью OX. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2.5, 10.25)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=2.5$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 4)$ и ось OX в точках $(\frac{5 - \sqrt{41}}{2}, 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{41}}{2}, 0)$.

г) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1/4 > 0$, ветви направлены вверх.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1/16}{2 \cdot (1/4)} = -\frac{1/16}{1/2} = -\frac{1}{8}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-1/8) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{16}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4 \cdot 64} - \frac{1}{128} + \frac{1}{4} = \frac{1}{256} - \frac{2}{256} + \frac{64}{256} = \frac{63}{256}$.

Вершина параболы: $(-\frac{1}{8}, \frac{63}{256})$.

4. Ось симметрии параболы: $x = -1/8$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{0^2}{4} + \frac{0}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения — $(0, 1/4)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} = 0$. Умножим на 16: $4x^2 + x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1 - 64 = -63$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

6. Свойства функции:

Функция убывает на $(-\infty, -1/8]$ и возрастает на $[-1/8, +\infty)$.

Наименьшее значение: $y_{min} = 63/256$.

Область значений: $E(f) = [63/256; +\infty)$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(-1/8, 63/256) \approx (-0.125, 0.246)$, точку пересечения с OY $(0, 1/4) = (0, 0.25)$ и симметричную ей точку $(-1/4, 1/4) = (-0.25, 0.25)$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{8}, \frac{63}{256})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=-1/8$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1/4)$ и не пересекает ось OX.

297. a) $f(x) = -x^3 + 3x - 2;$

Б) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3;$

В) $f(x) = x^3 + 3x + 2;$

Г) $f(x) = 3x^2 - x^3.$

Для решения задачи проведем полное исследование каждой функции, включая нахождение области определения, точек пересечения с осями координат, промежутков возрастания и убывания, точек экстремума, а также промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба.

а) $f(x) = -x^3 + 3x - 2$

1. Область определения функции:

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = -0^3 + 3 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow -x^3 + 3x - 2 = 0$, или $x^3 - 3x + 2 = 0$.

   Подбором находим корень $x=1$: $1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$.

   Разделим многочлен $x^3 - 3x + 2$ на $(x-1)$: получаем $(x-1)(x^2 + x - 2) = 0$.

   Решаем квадратное уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x=1$ и $x=-2$.

   Таким образом, точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(1; 0)$ (касание в точке $x=1$).

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) - 2 = x^3 - 3x - 2$.

   Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Находим первую производную: $f'(x) = (-x^3 + 3x - 2)' = -3x^2 + 3$.

   Приравниваем производную к нулю: $-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$. Это критические точки.

   Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

   • При $x \in (-\infty; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

   В точке $x=-1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $f_{min} = f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4$.

   В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $f_{max} = f(1) = -(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Находим вторую производную: $f''(x) = (-3x^2 + 3)' = -6x$.

   Приравниваем вторую производную к нулю: $-6x = 0 \Rightarrow x=0$.

   • При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
   • При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

   В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0) = -2$. Точка перегиба $(0; -2)$.

Ответ: Функция $f(x) = -x^3 + 3x - 2$ возрастает на интервале $(-1; 1)$ и убывает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$. Точка минимума $(-1; -4)$, точка максимума $(1; 0)$. График функции вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; -2)$. Пересечение с осями: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(0; -2)$.

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0 - 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow x^4 - 2x^2 - 3 = 0$.

   Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 2t - 3 = 0$.

   Корни уравнения: $t_1 = 3$, $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t \ge 0$.

   Возвращаемся к замене: $x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$. Точки пересечения $(\sqrt{3}; 0)$ и $(-\sqrt{3}; 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x)$.

   Функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=1, x_3=-1$.

   • При $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=-1$: точка минимума. $f_{min} = f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

   $x=0$: точка максимума. $f_{max} = f(0) = -3$.

   $x=1$: точка минимума. $f_{min} = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1/3 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

   • При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
   • При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   Точки $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) - 3 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 3 = \frac{1-6-27}{9} = -\frac{32}{9}$.

   Точки перегиба: $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$.

Ответ: Функция $f(x) = x^4 - 2x^2 - 3$ является четной. Убывает на $(-\infty; -1)$ и $(0; 1)$, возрастает на $(-1; 0)$ и $(1; +\infty)$. Точки минимума $(-1; -4)$ и $(1; -4)$, точка максимума $(0; -3)$. График вогнутый на $(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty)$, выпуклый на $(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3})$. Точки перегиба $(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{32}{9})$. Пересечение с осями: $(\pm\sqrt{3}; 0)$ и $(0; -3)$.

в) $f(x) = x^3 + 3x + 2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0 + 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

   С осью $Ox$: $x^3 + 3x + 2 = 0$. Так как $f(-1)=-2$ и $f(0)=2$, а функция непрерывна, существует корень на интервале $(-1; 0)$. Поскольку, как будет показано ниже, функция строго возрастает, этот корень единственный. Обозначим его $x_0$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = (-x)^3 + 3(-x) + 2 = -x^3 - 3x + 2$.

   Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)$.

   Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$ для всех $x$.

   Функция строго возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (3x^2 + 3)' = 6x$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x=0$.

   • При $x \in (-\infty; 0)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
   • При $x \in (0; +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

   $x=0$ — точка перегиба. $f(0)=2$. Точка перегиба $(0; 2)$.

Ответ: Функция $f(x) = x^3 + 3x + 2$ строго возрастает на всей числовой оси. Точек экстремумов нет. График функции выпуклый на $(-\infty; 0)$ и вогнутый на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; 2)$, которая также является точкой пересечения с осью $Oy$. Существует единственная точка пересечения с осью $Ox$ в интервале $(-1; 0)$.

г) $f(x) = 3x^2 - x^3$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

   С осью $Oy$: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

   С осью $Ox$: $f(x)=0 \Rightarrow 3x^2 - x^3 = 0 \Rightarrow x^2(3-x) = 0$.

   Корни $x=0$ (двойной корень) и $x=3$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность:

   $f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.

   Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:

   Первая производная: $f'(x) = 6x - 3x^2 = 3x(2-x)$.

   Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$.

   • При $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
   • При $x \in (0; 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

   $x=0$: точка минимума. $f_{min} = f(0) = 0$.

   $x=2$: точка максимума. $f_{max} = f(2) = 3(2^2) - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

   Вторая производная: $f''(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x = 6(1-x)$.

   $f''(x) = 0 \Rightarrow 6(1-x) = 0 \Rightarrow x=1$.

   • При $x \in (-\infty; 1)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
   • При $x \in (1; +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

   $x=1$ — точка перегиба. $f(1) = 3(1)^2 - 1^3 = 2$. Точка перегиба $(1; 2)$.

Ответ: Функция $f(x) = 3x^2 - x^3$ убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$, возрастает на $(0; 2)$. Точка минимума $(0; 0)$, точка максимума $(2; 4)$. График функции вогнутый на $(-\infty; 1)$ и выпуклый на $(1; +\infty)$. Точка перегиба $(1; 2)$. Пересечение с осями: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

298.- Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $f(x) = 1 + 1,5x - 3x^2 - 2,5x^3;$

б) $f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} - 6x + 1;$

в) $f(x) = \frac{x^4}{4} + 8x - 5;$

г) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2.$

а) $f(x) = 1 + 1,5x - 3x^2 - 2,5x^3$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает на тех, где производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (1 + 1,5x - 3x^2 - 2,5x^3)' = 1,5 - 6x - 7,5x^2$

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$-7,5x^2 - 6x + 1,5 = 0$

Умножим уравнение на -2 для удобства вычислений:

$15x^2 + 12x - 3 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$5x^2 + 4x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 6}{10} = -1$ $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$

3. Критические точки $x = -1$ и $x = 0,2$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0,2)$ и $(0,2; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = -7,5x^2 - 6x + 1,5$ в каждом интервале. Графиком производной является парабола с ветвями, направленными вниз.

• На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = -7,5(-2)^2 - 6(-2) + 1,5 = -30 + 12 + 1,5 = -16,5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-1; 0,2)$: $f'(0) = 1,5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(0,2; +\infty)$: $f'(1) = -7,5 - 6 + 1,5 = -12 < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 0,2]$; функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0,2; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} - 6x + 1$

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3} - 6x + 1)' = \frac{5x^4}{5} - \frac{3x^2}{3} - 6 = x^4 - x^2 - 6$

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):

$y^2 - y - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 3$, откуда $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

3. Критические точки $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной $f'(x) = x^4 - x^2 - 6$ в каждом из них.

• На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$: $f'(-2) = (-2)^4 - (-2)^2 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$: $f'(0) = 0^4 - 0^2 - 6 = -6 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$: $f'(2) = 2^4 - 2^2 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

в) $f(x) = \frac{x^4}{4} + 8x - 5$

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{x^4}{4} + 8x - 5)' = \frac{4x^3}{4} + 8 = x^3 + 8$

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 + 8 = 0$

$x^3 = -8$

$x = -2$

3. Критическая точка $x = -2$ делит числовую ось на два интервала. Определим знак производной $f'(x) = x^3 + 8$ в каждом из них.

• На интервале $(-\infty; -2)$: $f'(-3) = (-3)^3 + 8 = -27 + 8 = -19 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; +\infty)$: $f'(0) = 0^3 + 8 = 8 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$; функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.

г) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x - 2$

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x - 2)' = 3x^2 - 12x - 15$

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x - 15 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

3. Критические точки $x = -1$ и $x = 5$ делят числовую ось на три интервала. Определим знак производной $f'(x) = 3x^2 - 12x - 15$ в каждом интервале. Графиком производной является парабола с ветвями, направленными вверх.

• На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 12(-2) - 15 = 12 + 24 - 15 = 21 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-1; 5)$: $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) - 15 = -15 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(5; +\infty)$: $f'(6) = 3(6)^2 - 12(6) - 15 = 108 - 72 - 15 = 21 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-1; 5]$.

299. Докажите, что функция $f$ возрастает на множестве $R$:

a) $f(x) = 2x - \cos x;$

б) $f(x) = x^5 + 4x;$

в) $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2};$

г) $f(x) = 2x^3 + x - 5.$

а) Для того чтобы доказать, что функция возрастает на множестве $R$, необходимо показать, что ее производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$.
Найдем производную функции $f(x) = 2x - \cos x$:
$f'(x) = (2x - \cos x)' = (2x)' - (\cos x)' = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$.
Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.
Тогда мы можем оценить значения производной $f'(x)$:
Минимальное значение: $2 + (-1) = 1$.
Максимальное значение: $2 + 1 = 3$.
Таким образом, $1 \le f'(x) \le 3$ для всех $x \in R$.
Поскольку $f'(x) \ge 1$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

б) Найдем производную функции $f(x) = x^5 + 4x$:
$f'(x) = (x^5 + 4x)' = (x^5)' + (4x)' = 5x^4 + 4$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени четный: $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $5x^4 \ge 0$.
Тогда для производной $f'(x)$ получаем:
$f'(x) = 5x^4 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.
Поскольку $f'(x) \ge 4 > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

в) Найдем производную функции $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2}$:
$f'(x) = (\sin x + \frac{3x}{2})' = (\sin x)' + (\frac{3x}{2})' = \cos x + \frac{3}{2}$.
Известно, что область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.
Тогда мы можем оценить значения производной $f'(x)$:
Минимальное значение: $-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
Максимальное значение: $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
Таким образом, $\frac{1}{2} \le f'(x) \le \frac{5}{2}$ для всех $x \in R$.
Поскольку $f'(x) \ge \frac{1}{2}$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

г) Найдем производную функции $f(x) = 2x^3 + x - 5$:
$f'(x) = (2x^3 + x - 5)' = (2x^3)' + (x)' - (5)' = 6x^2 + 1$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, так как показатель степени четный: $x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $6x^2 \ge 0$.
Тогда для производной $f'(x)$ получаем:
$f'(x) = 6x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $f'(x) \ge 1 > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302).

.300.— а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$;

б) $f(x) = 4x^2 - x^4$;

в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 1\frac{1}{3}x^3$;

г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$.

а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - \frac{1}{5}(-x)^5 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^5$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \approx 1.36$. Точки $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{5/2}, 0)$.

4. Производная и критические точки.

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5)' = x - x^4 = x(1 - x^3)$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $x(1 - x^3) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $f(0)=0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10} = 0.3$.

6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.

$f''(x) = (x - x^4)' = 1 - 4x^3$.

Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $1 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.63$.

• При $x \in (-\infty, 1/\sqrt[3]{4})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
• При $x \in (1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).

Точка $x = 1/\sqrt[3]{4}$ является точкой перегиба. $f(1/\sqrt[3]{4}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{4^{1/3}})^2 - \frac{1}{5}(\frac{1}{4^{1/3}})^5 = \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}} \approx 0.18$.

7. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = -\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5) = +\infty$.

На основе полученных данных строим график функции.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[0, 1]$. Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(1, 0.3)$. График вогнутый на $(-\infty, 1/\sqrt[3]{4}]$, выпуклый на $[1/\sqrt[3]{4}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \frac{3}{10 \cdot 4^{2/3}})$.

б) $f(x) = 4x^2 - x^4$

1. Область определения функции.

$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0$, $4x^2 - x^4 = 0 \Rightarrow x^2(4 - x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm 2$. Точки $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(-2, 0)$.

4. Производная и критические точки.

$f'(x) = (4x^2 - x^4)' = 8x - 4x^3 = 4x(2 - x^2)$.

Критические точки: $4x(2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{2}, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0, \sqrt{2})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точки $x=-\sqrt{2}$ и $x=\sqrt{2}$ — точки локального максимума. $f(\pm\sqrt{2}) = 4(\pm\sqrt{2})^2 - (\pm\sqrt{2})^4 = 8 - 4 = 4$.

Точка $x=0$ — точка локального минимума. $f(0)=0$.

6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.

$f''(x) = (8x - 4x^3)' = 8 - 12x^2 = 4(2 - 3x^2)$.

Найдем точки, где $f''(x) = 0$: $8 - 12x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$.

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{2/3})$ и $x \in (\sqrt{2/3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
• При $x \in (-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

Точки $x = \pm\sqrt{2/3}$ являются точками перегиба. $f(\pm\sqrt{2/3}) = 4(\frac{2}{3}) - (\frac{2}{3})^2 = \frac{8}{3} - \frac{4}{9} = \frac{20}{9}$.

7. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to \pm\infty} (4x^2 - x^4) = -\infty$.

На основе полученных данных строим график функции.

Ответ: Функция четная. Возрастает на $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[0, \sqrt{2}]$, убывает на $[-\sqrt{2}, 0]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$. Точки максимума $(-\sqrt{2}, 4)$ и $(\sqrt{2}, 4)$, точка минимума $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -\sqrt{2/3}]$ и $[\sqrt{2/3}, +\infty)$, вогнутый на $[-\sqrt{2/3}, \sqrt{2/3}]$. Точки перегиба $(\pm\sqrt{2/3}, 20/9)$.

в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$

1. Область определения функции.

$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = \frac{1}{5}(-x)^5 - \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 = -f(x)$.

Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0$, $\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \Rightarrow x^3(\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1.29$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Производная и критические точки.

$f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1) = x^2(x-1)(x+1)$.

Критические точки: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \leq 0$, функция убывает (в точке $x=0$ производная равна 0).
• При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $f(-1) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$.

Точка $x=1$ — точка локального минимума. $f(1) = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}$.

В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.

6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.

$f''(x) = (x^4 - x^2)' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$.

Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.

• При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.
• При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.

Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \mp \frac{7}{60\sqrt{2}}$.

7. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

На основе полученных данных строим график функции.

Ответ: Функция нечетная. Возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-1, 1]$. Точка максимума $(-1, 2/15)$, точка минимума $(1, -2/15)$. График выпуклый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, вогнутый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \mp \frac{7}{60\sqrt{2}})$.

г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$

1. Область определения функции.

$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -f(x)$.

Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: $x=0$, $y = f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0$, $5x^3 - 3x^5 = 0 \Rightarrow x^3(5 - 3x^2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \pm\sqrt{\frac{5}{3}}$. Точки $(0, 0)$, $(\pm\sqrt{5/3}, 0)$.

4. Производная и критические точки.

$f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2)$.

Критические точки: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) \geq 0$, функция возрастает (в точке $x=0$ производная равна 0).
• При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

Точка $x=-1$ — точка локального минимума. $f(-1) = -5 + 3 = -2$.

Точка $x=1$ — точка локального максимума. $f(1) = 5 - 3 = 2$.

В точке $x=0$ производная не меняет знак, это не экстремум.

6. Вторая производная, точки перегиба, выпуклость и вогнутость.

$f''(x) = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.

Точки, где $f''(x) = 0$: $x=0, x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$.

• При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{2})$ и $x \in (0, 1/\sqrt{2})$, $f''(x) > 0$, график вогнутый.
• При $x \in (-1/\sqrt{2}, 0)$ и $x \in (1/\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график выпуклый.

Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. $f(0)=0$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = \pm \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx \pm 1.24$.

7. Поведение на бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

На основе полученных данных строим график функции.

Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, возрастает на $[-1, 1]$. Точка минимума $(-1, -2)$, точка максимума $(1, 2)$. График вогнутый на $(-\infty, -1/\sqrt{2}]$ и $[0, 1/\sqrt{2}]$, выпуклый на $[-1/\sqrt{2}, 0]$ и $[1/\sqrt{2}, +\infty)$. Точки перегиба $(0, 0)$ и $(\pm 1/\sqrt{2}, \pm \frac{7\sqrt{2}}{8})$.

301.—

a) $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$;

б) $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2-3}$;

в) $f(x) = x\sqrt{2-x}$;

г) $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$.

Для нахождения производной этой функции мы применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sqrt{1+x}$.

Найдем производные для каждой из этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от внутреннего выражения $(1+x)$ равна $1$.

$v'(x) = (\sqrt{1+x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot (1+x)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{1+x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{1+x}$:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1+x} \cdot 2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}} + \frac{x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x(1+x) + x^2}{2\sqrt{1+x}}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:

$f'(x) = \frac{4x + 4x^2 + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть числитель $u(x) = 6(x-1) = 6x-6$ и знаменатель $v(x) = x^2+3$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (6x-6)' = 6$.

$v'(x) = (x^2+3)' = 2x$.

Теперь подставим все в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2}$.

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$f'(x) = \frac{6x^2 + 18 - (12x^2 - 12x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2 + 18 - 12x^2 + 12x}{(x^2+3)^2}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.

в)

Дана функция $f(x) = x\sqrt{2-x}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2-x}$.

Найдем производные для каждой функции:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило для сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от $(2-x)$ равна $-1$.

$v'(x) = (\sqrt{2-x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (2-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.

Подставляем найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\right) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{2-x}$:

$f'(x) = \frac{\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = 1-x^2$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x)' = 2$.

$v'(x) = (1-x^2)' = -2x$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(1-x^2) - (2x)(-2x)}{(1-x^2)^2}$.

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(1-x^2)^2}$.

Можно вынести общий множитель $2$ за скобки в числителе для более компактного вида:

$f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.

302.—

a) $f(x) = \sin^2 x + \sin x$;

б) $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$;

в) $f(x) = \cos^2 x - \cos x$;

г) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

а) Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sin^2 x + \sin x$, сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку значения синуса лежат в отрезке $[-1, 1]$, то и переменная $t$ будет принимать значения из этого же отрезка: $t \in [-1, 1]$.
Наша функция принимает вид квадратичной функции от $t$: $g(t) = t^2 + t$. Теперь задача сводится к нахождению множества значений этой квадратичной функции на отрезке $[-1, 1]$.
Графиком функции $g(t) = t^2 + t$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем абсциссу вершины параболы:
$t_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.
Так как $t_v = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке будет равно значению в вершине:
$g_{min} = g(-0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Чтобы найти наибольшее значение, нужно вычислить значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$ и сравнить их.
$g(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$.
$g(1) = 1^2 + 1 = 2$.
Сравнивая значения $g(-1)=0$ и $g(1)=2$, видим, что наибольшее значение функции на отрезке равно 2.
Таким образом, область значений функции $g(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ есть отрезок $[-0.25, 2]$. Следовательно, и область значений исходной функции $f(x)$ та же.
Ответ: $E(f) = [-0.25, 2]$.

б) Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$, приравняем ее к $y$:
$y = \frac{2x}{1+x^2}$.
Выразим $x$ через $y$. Так как $1+x^2 > 0$ для любого $x$, мы можем умножить обе части уравнения на $1+x^2$:
$y(1+x^2) = 2x$
$y + yx^2 = 2x$
$yx^2 - 2x + y = 0$.
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Это уравнение имеет действительные решения для $x$ только в том случае, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $-2x = 0$, откуда $x=0$. Значит, $y=0$ входит в область значений функции.
2. Если $y \neq 0$, то мы имеем полноценное квадратное уравнение. Его дискриминант равен:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot y = 4 - 4y^2$.
Условие $D \ge 0$ дает нам неравенство:
$4 - 4y^2 \ge 0$
$4(1 - y^2) \ge 0$
$1 - y^2 \ge 0$
$(1 - y)(1 + y) \ge 0$.
Решением этого неравенства является отрезок $y \in [-1, 1]$.
Объединяя оба случая, получаем, что область значений функции - это отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

в) Задача для функции $f(x) = \cos^2 x - \cos x$ решается аналогично пункту а). Сделаем замену переменной $t = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.
Получаем квадратичную функцию $h(t) = t^2 - t$. Нам нужно найти ее область значений на отрезке $[-1, 1]$.
График функции $h(t)$ — парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$t_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0.5$.
Вершина $t_v = 0.5$ находится внутри отрезка $[-1, 1]$, следовательно, в этой точке функция достигает своего наименьшего значения на данном отрезке:
$h_{min} = h(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Наибольшее значение ищем на концах отрезка:
$h(-1) = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
$h(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Наибольшее из этих значений равно 2.
Таким образом, множество значений функции $h(t)$ на отрезке $[-1, 1]$ — это отрезок $[-0.25, 2]$. Это и есть область значений исходной функции $f(x)$.
Ответ: $E(f) = [-0.25, 2]$.

г) Чтобы найти область значений функции $f(x) = \frac{x}{x-1}$, преобразуем ее выражение.
$f(x) = \frac{x-1+1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1}$.
Область определения функции: $x \neq 1$.
Выражение $\frac{1}{x-1}$ может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Это происходит потому, что знаменатель $x-1$ может быть любым числом, кроме нуля, а значит, обратная величина $\frac{1}{x-1}$ также может быть любым числом, кроме нуля.
Тогда выражение $1 + \frac{1}{x-1}$ может принимать любые действительные значения, кроме $1+0=1$.
Таким образом, область значений функции состоит из всех действительных чисел, кроме 1.
Геометрически, график функции $y = 1 + \frac{1}{x-1}$ получается из графика $y = \frac{1}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота графика $y=\frac{1}{x}$ — это ось $y=0$. После сдвига вверх на 1, она превращается в прямую $y=1$, которую график функции не пересекает.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

303.— Докажите, что функция $f$ принимает на данном промежутке положительные значения:

а) $f(x) = \operatorname{tg} x - x; I = (0; \frac{\pi}{2})$

б) $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x}; I = [1; \infty)$

в) $f(x) = x - \sin x; I = (0; \infty)$

г) $f(x) = x + \frac{\pi}{2} - \cos x; I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

а) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \tg x - x$ принимает положительные значения на промежутке $I = (0; \frac{\pi}{2})$, исследуем ее с помощью производной.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\tg x - x)' = (\tg x)' - (x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.
На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ косинус принимает значения $0 < \cos x < 1$. Следовательно, $\cos^2 x$ принимает значения $0 < \cos^2 x < 1$.
Тогда $\frac{1}{\cos^2 x} > 1$, и значит, производная $f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Поскольку производная функции положительна на всем интервале, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.
Теперь найдем значение функции на левой границе интервала (точнее, предел при $x$, стремящемся к 0 справа):
$\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (\tg x - x) = \tg 0 - 0 = 0$.
Так как функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ и ее значение "начинается" с 0 в точке $x=0$, то для любого $x$ из этого интервала будет выполняться неравенство $f(x) > f(0) = 0$.
Таким образом, функция $f(x)$ принимает положительные значения на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \tg x - x$ принимает положительные значения на промежутке $I = (0; \frac{\pi}{2})$.

б) Чтобы доказать, что функция $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x}$ принимает положительные значения на промежутке $I = [1; \infty)$, исследуем ее поведение на этом промежутке.
Сначала проверим значение функции на левой границе промежутка, в точке $x=1$:
$f(1) = \sqrt{1} - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$.
Теперь найдем производную функции, чтобы определить ее монотонность. Запишем функцию в виде $f(x) = x^{1/2} - x^{-1}$.
$f'(x) = (x^{1/2} - x^{-1})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - (-1)x^{-2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$.
На промежутке $[1; \infty)$ переменная $x$ положительна, поэтому $\sqrt{x} > 0$ и $x^2 > 0$. Следовательно, оба слагаемых в выражении для производной положительны: $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ и $\frac{1}{x^2} > 0$.
Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x \in [1; \infty)$.
Поскольку производная функции положительна, функция $f(x)$ строго возрастает на всем промежутке $[1; \infty)$.
Наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке промежутка, то есть при $x=1$. Мы уже вычислили, что $f(1) = 0$.
Так как функция строго возрастает и ее минимальное значение на промежутке равно 0, то для всех $x \in (1; \infty)$ будет выполняться строгое неравенство $f(x) > f(1) = 0$. На всем промежутке $[1; \infty)$ функция принимает неотрицательные значения, причем значение 0 достигается только в точке $x=1$, а для всех остальных точек промежутка значения строго положительны.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x}$ принимает неотрицательные значения на промежутке $I = [1; \infty)$, и строго положительные значения на $(1; \infty)$.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x - \sin x$ принимает положительные значения на промежутке $I = (0; \infty)$, исследуем ее с помощью производной.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.
Известно, что для любого действительного $x$ значение косинуса лежит в пределах $-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, производная $f'(x) = 1 - \cos x \ge 1 - 1 = 0$.
Производная $f'(x)$ равна нулю только в тех точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. На рассматриваемом промежутке $(0; \infty)$ это точки $2\pi, 4\pi, 6\pi, \ldots$.
Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всем промежутке $(0; \infty)$.
Найдем значение функции в точке $x=0$, которая является левой границей промежутка:
$f(0) = 0 - \sin 0 = 0$.
Так как функция $f(x)$ строго возрастает на $(0; \infty)$ и $f(0)=0$, то для любого $x > 0$ будет выполняться неравенство $f(x) > f(0) = 0$.
Следовательно, функция $f(x)$ принимает положительные значения на данном промежутке.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x - \sin x$ принимает положительные значения на промежутке $I = (0; \infty)$.

г) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x + \frac{\pi}{2} - \cos x$ принимает положительные значения на промежутке $I = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, исследуем ее монотонность.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x + \frac{\pi}{2} - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ синус принимает значения от $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ до $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, производная $f'(x) = 1 + \sin x \ge 1 + (-1) = 0$.
Производная $f'(x)$ равна нулю на данном отрезке только в одной точке, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$.
Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ и равна нулю только на левой границе отрезка, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всем отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Наименьшее значение функция принимает в левой крайней точке отрезка, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$. Вычислим это значение:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 - 0 = 0$.
Так как функция строго возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и ее наименьшее значение равно 0, то для всех $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ выполняется строгое неравенство $f(x) > f(-\frac{\pi}{2}) = 0$. На всем отрезке функция принимает неотрицательные значения.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x + \frac{\pi}{2} - \cos x$ принимает неотрицательные значения на промежутке $I = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, и строго положительные значения на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.