Номер 291, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 291, страница 150.
№291 (с. 150)
Условие. №291 (с. 150)
скриншот условия

291. Докажите, что функция $f$ не имеет критических точек:
a) $f(x) = \sqrt{x}$;
б) $f(x) = \operatorname{tg} x$;
в) $f(x) = 3x - 7$;
г) $f(x) = 3x^5 + 2x.$
Решение 1. №291 (с. 150)

Решение 3. №291 (с. 150)

Решение 5. №291 (с. 150)
Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная этой функции равна нулю или не существует. Для доказательства отсутствия критических точек у заданных функций необходимо найти их производные и проанализировать их на соответствие этому определению.
а) $f(x) = \sqrt{x}$
Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$. Внутренними точками этой области являются точки из интервала $(0, +\infty)$. Точка $x=0$ является граничной, а не внутренней точкой.
Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Проанализируем производную:
- Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$, не имеет решений, так как числитель дроби равен 1.
- Производная не существует при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль.
Точка $x=0$ является единственным кандидатом в критические точки. Однако, как было указано, $x=0$ не является внутренней точкой области определения функции. Следовательно, по определению, она не может быть критической точкой.
Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная нигде не равна нулю, а единственная точка, где производная не существует ($x=0$), не является внутренней точкой области определения.
б) $f(x) = \tg x$
Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все точки из области определения являются внутренними.
Находим производную функции: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Проанализируем производную:
- Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{\cos^2 x} = 0$, не имеет решений, так как числитель равен 1.
- Производная не существует, когда $\cos^2 x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Точки, в которых производная не существует, не входят в область определения самой функции $f(x) = \tg x$. Таким образом, в области определения функции ее производная везде существует и нигде не равна нулю.
Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная определена и не равна нулю во всех точках области определения функции.
в) $f(x) = 3x - 7$
Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Находим производную функции: $f'(x) = (3x - 7)' = 3$.
Производная является константой. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $3=0$, не имеет решений. Производная существует при всех значениях $x$.
Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.
Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x)=3$ существует и не равна нулю при любых значениях $x$.
г) $f(x) = 3x^5 + 2x$
Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.
Находим производную функции: $f'(x) = (3x^5 + 2x)' = 15x^4 + 2$.
Проанализируем производную:
- Приравняем производную к нулю: $15x^4 + 2 = 0$. Это приводит к уравнению $x^4 = -\frac{2}{15}$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, это уравнение не имеет действительных решений.
- Производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$.
Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.
Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует при любых значениях $x$ и всегда положительна (поскольку $15x^4 \ge 0$, то $15x^4+2 \ge 2$), следовательно, она никогда не обращается в ноль.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 291 расположенного на странице 150 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №291 (с. 150), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.