Номер 291, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 291, страница 150.

Условие.

291. Докажите, что функция $f$ не имеет критических точек:

a) $f(x) = \sqrt{x}$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

в) $f(x) = 3x - 7$;

г) $f(x) = 3x^5 + 2x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная этой функции равна нулю или не существует. Для доказательства отсутствия критических точек у заданных функций необходимо найти их производные и проанализировать их на соответствие этому определению.

а) $f(x) = \sqrt{x}$

Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$. Внутренними точками этой области являются точки из интервала $(0, +\infty)$. Точка $x=0$ является граничной, а не внутренней точкой.

Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Проанализируем производную:

• Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$, не имеет решений, так как числитель дроби равен 1.
• Производная не существует при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль.

Точка $x=0$ является единственным кандидатом в критические точки. Однако, как было указано, $x=0$ не является внутренней точкой области определения функции. Следовательно, по определению, она не может быть критической точкой.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная нигде не равна нулю, а единственная точка, где производная не существует ($x=0$), не является внутренней точкой области определения.

б) $f(x) = \tg x$

Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все точки из области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Проанализируем производную:

• Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{\cos^2 x} = 0$, не имеет решений, так как числитель равен 1.
• Производная не существует, когда $\cos^2 x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная не существует, не входят в область определения самой функции $f(x) = \tg x$. Таким образом, в области определения функции ее производная везде существует и нигде не равна нулю.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная определена и не равна нулю во всех точках области определения функции.

в) $f(x) = 3x - 7$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (3x - 7)' = 3$.

Производная является константой. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $3=0$, не имеет решений. Производная существует при всех значениях $x$.

Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x)=3$ существует и не равна нулю при любых значениях $x$.

г) $f(x) = 3x^5 + 2x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (3x^5 + 2x)' = 15x^4 + 2$.

Проанализируем производную:

• Приравняем производную к нулю: $15x^4 + 2 = 0$. Это приводит к уравнению $x^4 = -\frac{2}{15}$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, это уравнение не имеет действительных решений.
• Производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует при любых значениях $x$ и всегда положительна (поскольку $15x^4 \ge 0$, то $15x^4+2 \ge 2$), следовательно, она никогда не обращается в ноль.