Номер 287, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 287, страница 150.

Условие.

287.— Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке 109.

$y$
$x_1$ $x_2$ $0$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $x$

$y$
$x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $0$ $x_6$ $x_7$ $x_8$ $x_9$ $x$

Рис. 109

Решение 1.

Решение 5.

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Для левого графика:

Область определения функции — отрезок $[x_1, x_5]$. Внутренними точками являются точки интервала $(x_1, x_5)$.

1. В точках $x_2$, $0$ и $x_3$ график имеет гладкие экстремумы (максимумы и минимум). Касательная к графику в этих точках горизонтальна, следовательно, производная в них равна нулю: $f'(x_2) = 0$, $f'(0) = 0$, $f'(x_3) = 0$. Эти точки являются критическими.

2. В точке $x_4$ график имеет излом (острый минимум). В таких точках функция является непрерывной, но недифференцируемой, то есть производная не существует. Следовательно, $x_4$ — критическая точка.

3. Точки $x_1$ и $x_5$ являются концами отрезка (граничными точками области определения) и по определению не являются критическими точками.

Ответ: $x_2, 0, x_3, x_4$.

Для правого графика:

Область определения функции — отрезок $[x_1, x_9]$. Внутренними точками являются точки интервала $(x_1, x_9)$.

1. В точке $x_2$ график имеет излом (острый минимум). Производная в этой точке не существует, поэтому $x_2$ — критическая точка.

2. В точках $x_4$ и $x_5$ график также имеет изломы, поэтому производная в этих точках не существует. Они являются критическими точками.

3. На всем интервале $(x_4, x_5)$ график функции является отрезком горизонтальной прямой. Это означает, что производная в каждой точке этого интервала равна нулю. Следовательно, все точки интервала $(x_4, x_5)$ являются критическими.

4. Объединяя пункты 2 и 3, получаем, что все точки отрезка $[x_4, x_5]$ являются критическими.

5. В точке $x_7$ касательная к графику горизонтальна (это точка перегиба с горизонтальной касательной), поэтому производная в этой точке равна нулю: $f'(x_7) = 0$. Следовательно, $x_7$ — критическая точка.

6. Точки $x_1$ и $x_9$ — граничные точки области определения. В точках $x_3$, $x_6$, $x_8$ производная существует и не равна нулю (касательные не горизонтальны). Поэтому эти точки не являются критическими.

Ответ: $x_2$, все точки отрезка $[x_4, x_5]$, $x_7$.