Номер 286, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 286, страница 146.

№286 (с. 146)
Условие. №286 (с. 146)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 146, номер 286, Условие

286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каждом из данных промежутков $P_1$ и $P_2$:

а) $x^3 - 27x + 2 = 0, P_1 = [-1; 1], P_2 = [4; 6];$

б) $x^4 - 4x - 9 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3];$

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0, P_1 = [-2; -1], P_2 = [1; 2];$

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3].$

Решение 1. №286 (с. 146)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 146, номер 286, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 146, номер 286, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 146, номер 286, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 3. №286 (с. 146)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 146, номер 286, Решение 3
Решение 5. №286 (с. 146)

Для доказательства того, что уравнение имеет единственный корень на заданном промежутке, мы воспользуемся двумя утверждениями, следующими из свойств непрерывных функций:

  1. Теорема о промежуточном значении (следствие): Если непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция $f(x)$ принимает на его концах значения разных знаков (т.е. $f(a) \cdot f(b) < 0$), то на интервале $(a; b)$ существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.
  2. Свойство монотонной функции: Если функция $f(x)$ строго монотонна (т.е. строго возрастает или строго убывает) на промежутке, то любое свое значение она принимает на этом промежутке не более одного раза. В частности, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня. Монотонность функции можно определить по знаку ее производной: если $f'(x) > 0$ на интервале, функция строго возрастает; если $f'(x) < 0$, функция строго убывает.

Применим этот подход к каждому уравнению.

а) $x^3 - 27x + 2 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 27x + 2$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-1; 1]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(-1) = (-1)^3 - 27(-1) + 2 = -1 + 27 + 2 = 28$
$f(1) = 1^3 - 27(1) + 2 = 1 - 27 + 2 = -24$
Поскольку $f(-1) > 0$ и $f(1) < 0$, на интервале $(-1; 1)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [-1; 1]$, выполняется неравенство $0 \le x^2 \le 1$, следовательно $x^2 - 9 < 0$.
Таким образом, $f'(x) < 0$ на всем промежутке $[-1; 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на $P_1$, и, следовательно, может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[-1; 1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [4; 6]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(4) = 4^3 - 27(4) + 2 = 64 - 108 + 2 = -42$
$f(6) = 6^3 - 27(6) + 2 = 216 - 162 + 2 = 56$
Поскольку $f(4) < 0$ и $f(6) > 0$, на интервале $(4; 6)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Производная $f'(x) = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [4; 6]$, выполняется неравенство $16 \le x^2 \le 36$, следовательно $x^2 - 9 > 0$.
Таким образом, $f'(x) > 0$ на всем промежутке $[4; 6]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на $P_2$ и может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[4; 6]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

б) $x^4 - 4x - 9 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 - 4x - 9$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 - 4(-2) - 9 = 16 + 8 - 9 = 15 > 0$
$f(0) = 0^4 - 4(0) - 9 = -9 < 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(-2; 0)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [-2; 0]$, имеем $x^3 \le 0$, значит $x^3 - 1 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; 0]$, функция строго убывает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = 2^4 - 4(2) - 9 = 16 - 8 - 9 = -1 < 0$
$f(3) = 3^4 - 4(3) - 9 = 81 - 12 - 9 = 60 > 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(2; 3)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [2; 3]$, имеем $x^3 \ge 8$, значит $x^3 - 1 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[2; 3]$, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + 6x^2 - 8$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; -1]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 + 6(-2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
$f(-1) = (-1)^4 + 6(-1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; -1)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 + 12x = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[-2; -1]$, множитель $x < 0$, а $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; -1]$, функция строго убывает.

На промежутке $[-2; -1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [1; 2]$:

1. $f(1) = 1^4 + 6(1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
$f(2) = 2^4 + 6(2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
Существует корень на $(1; 2)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[1; 2]$, множитель $x > 0$ и $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[1; 2]$, функция строго возрастает.

На промежутке $[1; 2]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 1 = 8 + 12 - 1 = 19 > 0$
$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; 0)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
На интервале $(-2; 0)$, множитель $-3x > 0$ и $x - 2 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(-2; 0)$. Функция строго убывает на $[-2; 0]$.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3 > 0$
$f(3) = -3^3 + 3(3)^2 - 1 = -27 + 27 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(2; 3)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x(x - 2)$.
На интервале $(2; 3)$, множитель $-3x < 0$ и $x - 2 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(2; 3)$. Функция строго убывает на $[2; 3]$.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 286 расположенного на странице 146 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №286 (с. 146), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.