Номер 286, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 286, страница 146.

Условие.

286. Докажите, что уравнение имеет единственный корень на каждом из данных промежутков $P_1$ и $P_2$:

а) $x^3 - 27x + 2 = 0, P_1 = [-1; 1], P_2 = [4; 6];$

б) $x^4 - 4x - 9 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3];$

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0, P_1 = [-2; -1], P_2 = [1; 2];$

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0, P_1 = [-2; 0], P_2 = [2; 3].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для доказательства того, что уравнение имеет единственный корень на заданном промежутке, мы воспользуемся двумя утверждениями, следующими из свойств непрерывных функций:

1. Теорема о промежуточном значении (следствие): Если непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция $f(x)$ принимает на его концах значения разных знаков (т.е. $f(a) \cdot f(b) < 0$), то на интервале $(a; b)$ существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.
2. Свойство монотонной функции: Если функция $f(x)$ строго монотонна (т.е. строго возрастает или строго убывает) на промежутке, то любое свое значение она принимает на этом промежутке не более одного раза. В частности, уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня. Монотонность функции можно определить по знаку ее производной: если $f'(x) > 0$ на интервале, функция строго возрастает; если $f'(x) < 0$, функция строго убывает.

Применим этот подход к каждому уравнению.

а) $x^3 - 27x + 2 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 27x + 2$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-1; 1]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(-1) = (-1)^3 - 27(-1) + 2 = -1 + 27 + 2 = 28$
$f(1) = 1^3 - 27(1) + 2 = 1 - 27 + 2 = -24$
Поскольку $f(-1) > 0$ и $f(1) < 0$, на интервале $(-1; 1)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [-1; 1]$, выполняется неравенство $0 \le x^2 \le 1$, следовательно $x^2 - 9 < 0$.
Таким образом, $f'(x) < 0$ на всем промежутке $[-1; 1]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на $P_1$, и, следовательно, может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[-1; 1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [4; 6]$:

1. Проверим значения на концах промежутка:
$f(4) = 4^3 - 27(4) + 2 = 64 - 108 + 2 = -42$
$f(6) = 6^3 - 27(6) + 2 = 216 - 162 + 2 = 56$
Поскольку $f(4) < 0$ и $f(6) > 0$, на интервале $(4; 6)$ существует хотя бы один корень.

2. Исследуем на монотонность. Производная $f'(x) = 3(x^2 - 9)$.
Для любого $x \in [4; 6]$, выполняется неравенство $16 \le x^2 \le 36$, следовательно $x^2 - 9 > 0$.
Таким образом, $f'(x) > 0$ на всем промежутке $[4; 6]$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на $P_2$ и может иметь не более одного корня.

Из (1) и (2) следует, что на промежутке $[4; 6]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

б) $x^4 - 4x - 9 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 - 4x - 9$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 - 4(-2) - 9 = 16 + 8 - 9 = 15 > 0$
$f(0) = 0^4 - 4(0) - 9 = -9 < 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(-2; 0)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [-2; 0]$, имеем $x^3 \le 0$, значит $x^3 - 1 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; 0]$, функция строго убывает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = 2^4 - 4(2) - 9 = 16 - 8 - 9 = -1 < 0$
$f(3) = 3^4 - 4(3) - 9 = 81 - 12 - 9 = 60 > 0$
Так как значения на концах имеют разные знаки, корень на $(2; 3)$ существует.

2. Производная: $f'(x) = 4(x^3 - 1)$.
Для $x \in [2; 3]$, имеем $x^3 \ge 8$, значит $x^3 - 1 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[2; 3]$, функция строго возрастает и может иметь не более одного корня.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

в) $x^4 + 6x^2 - 8 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + 6x^2 - 8$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; -1]$:

1. $f(-2) = (-2)^4 + 6(-2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
$f(-1) = (-1)^4 + 6(-1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; -1)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x^3 + 12x = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[-2; -1]$, множитель $x < 0$, а $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $[-2; -1]$, функция строго убывает.

На промежутке $[-2; -1]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [1; 2]$:

1. $f(1) = 1^4 + 6(1)^2 - 8 = 1 + 6 - 8 = -1 < 0$
$f(2) = 2^4 + 6(2)^2 - 8 = 16 + 24 - 8 = 32 > 0$
Существует корень на $(1; 2)$.

2. Производная: $f'(x) = 4x(x^2 + 6)$.
На промежутке $[1; 2]$, множитель $x > 0$ и $x^2 + 6 > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 0$ на $[1; 2]$, функция строго возрастает.

На промежутке $[1; 2]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.

г) $-1 + 3x^2 - x^3 = 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Промежуток $P_1 = [-2; 0]$:

1. $f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 1 = 8 + 12 - 1 = 19 > 0$
$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(-2; 0)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$.
На интервале $(-2; 0)$, множитель $-3x > 0$ и $x - 2 < 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(-2; 0)$. Функция строго убывает на $[-2; 0]$.

На промежутке $[-2; 0]$ есть ровно один корень.

Промежуток $P_2 = [2; 3]$:

1. $f(2) = -2^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3 > 0$
$f(3) = -3^3 + 3(3)^2 - 1 = -27 + 27 - 1 = -1 < 0$
Существует корень на $(2; 3)$.

2. Производная: $f'(x) = -3x(x - 2)$.
На интервале $(2; 3)$, множитель $-3x < 0$ и $x - 2 > 0$.
Следовательно, $f'(x) < 0$ на $(2; 3)$. Функция строго убывает на $[2; 3]$.

На промежутке $[2; 3]$ есть ровно один корень.

Ответ: Доказано, что на каждом из промежутков $P_1$ и $P_2$ уравнение имеет единственный корень.