Номер 281, страница 146 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 281, страница 146.

Условие.

281.-

a) $f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3;$

б) $f(x) = 4 - x^4;$

В) $f(x) = x (x^2 - 12);$

г) $f(x) = \frac{3}{x^2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо найти ее производную, приравнять к нулю для нахождения критических точек, а затем исследовать знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва разбивают область определения функции.

а) $f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$f'(x) = (12x + 3x^2 - 2x^3)' = 12 + 6x - 6x^2$

3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-6x^2 + 6x + 12 = 0$

Делим обе части на $-6$:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

$f'(x) = -6(x-2)(x+1)$

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$, $f'(-2) = -6(-4)(-1) = -24 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1; 2)$, например $x=0$, $f'(0) = 12 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $f'(3) = -6(1)(4) = -24 < 0$, функция убывает.

5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума.

6. Находим значения функции в точках экстремума:

$f_{min} = f(-1) = 12(-1) + 3(-1)^2 - 2(-1)^3 = -12 + 3 + 2 = -7$.

$f_{max} = f(2) = 12(2) + 3(2)^2 - 2(2)^3 = 24 + 12 - 16 = 20$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 2]$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = -1$, минимум функции $f_{min} = -7$. Точка максимума $x_{max} = 2$, максимум функции $f_{max} = 20$.

б) $f(x) = 4 - x^4$

1. Область определения функции — $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (4 - x^4)' = -4x^3$

3. Находим критические точки, решая $f'(x) = 0$:

$-4x^3 = 0 \implies x = 0$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• При $x < 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x > 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума.

6. Находим максимум функции:

$f_{max} = f(0) = 4 - 0^4 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$, убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 0$, максимум функции $f_{max} = 4$.

в) $f(x) = x(x^2 - 12)$

1. Раскроем скобки: $f(x) = x^3 - 12x$. Область определения — $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12$

3. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

$f'(x) = 3(x-2)(x+2)$

• При $x \in (-\infty; -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-2; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

6. Находим экстремумы:

$f_{max} = f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16$.

$f_{min} = f(2) = 2^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 2]$. Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум функции $f_{max} = 16$. Точка минимума $x_{min} = 2$, минимум функции $f_{min} = -16$.

г) $f(x) = \frac{3}{x^2}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Представим функцию в виде $f(x) = 3x^{-2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (3x^{-2})' = 3 \cdot (-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$

3. Производная $f'(x)$ нигде не равна нулю. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = -\frac{6}{(-1)^3} = 6 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; +\infty)$, например $x=1$, $f'(1) = -\frac{6}{1^3} = -6 < 0$, функция убывает.

5. Так как точка $x=0$ является точкой разрыва и не принадлежит области определения, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$, убывает на промежутке $(0; +\infty)$. Точек экстремума нет.