Номер 277, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 277, страница 142.

Условие.

277. По прямой движутся две материальные точки по законам $x_1 (t) = 4t^2 - 3$ и $x_2 (t) = t^3$. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй точки?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти, в каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй, нам необходимо сначала найти функции скорости для каждой точки. Скорость является первой производной от координаты по времени $v(t) = x'(t)$.

1. Найдем функцию скорости для первой материальной точки:
$v_1(t) = x_1'(t) = (4t^2 - 3)' = 4 \cdot 2t - 0 = 8t$.

2. Найдем функцию скорости для второй материальной точки:
$v_2(t) = x_2'(t) = (t^3)' = 3t^2$.

3. Теперь составим и решим неравенство, исходя из условия задачи, что скорость первой точки больше скорости второй ($v_1(t) > v_2(t)$):
$8t > 3t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратичное неравенство:
$8t - 3t^2 > 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(8 - 3t) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $t(8 - 3t) = 0$.
Корни уравнения: $t_1 = 0$ и $8 - 3t = 0 \implies 3t = 8 \implies t_2 = \frac{8}{3}$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{8}{3})$, $(\frac{8}{3}, +\infty)$.
Так как мы имеем дело с параболой $y = -3t^2 + 8t$, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный), то положительные значения функция принимает между корнями.
Следовательно, неравенство $t(8 - 3t) > 0$ выполняется на интервале $(0, \frac{8}{3})$.

Поскольку время $t$ по физическому смыслу не может быть отрицательным ($t \ge 0$), полученное решение $t \in (0, \frac{8}{3})$ является искомым промежутком времени.

Ответ: скорость первой точки больше скорости второй точки в промежутке времени $t \in (0, \frac{8}{3})$.