Номер 276, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 276, страница 142.

Условие.

276. Известно, что для любой точки C стержня AB длиной 20 см, отстоящей от точки A на расстояние $l$, масса куска стержня AC в граммах определяется по формуле $m(l) = 3l^2 + 5l$. Найдите линейную плотность стержня:

а) в середине отрезка AB;

б) в конце B стержня.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи, масса $m$ куска стержня длиной $l$, отсчитываемой от точки А, задается функцией $m(l) = 3l^2 + 5l$.

Линейная плотность стержня $\rho(l)$ в точке, находящейся на расстоянии $l$ от конца A, определяется как производная массы по длине. Это является физическим смыслом производной в данном контексте. $$ \rho(l) = m'(l) = \frac{dm}{dl} $$

Найдем производную от заданной функции массы, используя правила дифференцирования: $$ \rho(l) = (3l^2 + 5l)' = (3l^2)' + (5l)' = 2 \cdot 3l^{2-1} + 5l^{1-1} = 6l + 5 $$ Таким образом, функция, описывающая линейную плотность стержня в зависимости от расстояния $l$ от точки A, имеет вид $\rho(l) = 6l + 5$. Единицами измерения плотности являются граммы на сантиметр (г/см).

а) в середине отрезка AB

Длина всего стержня AB составляет 20 см. Середина стержня находится на расстоянии $l$ от точки A, равном половине его длины: $$ l = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} $$ Подставим это значение в полученную формулу для линейной плотности: $$ \rho(10) = 6 \cdot 10 + 5 = 60 + 5 = 65 \text{ г/см} $$ Ответ: 65 г/см.

б) в конце B стержня

Конец B стержня соответствует его полной длине. Таким образом, расстояние от точки A до точки B равно: $$ l = 20 \text{ см} $$ Подставим это значение в формулу для линейной плотности: $$ \rho(20) = 6 \cdot 20 + 5 = 120 + 5 = 125 \text{ г/см} $$ Ответ: 125 г/см.