Номер 273, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Применения непрерывности и производной. Глава 2. Производная и её применения - номер 273, страница 142.

Условие.

273.- Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \sqrt{t}$. Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что ускорение точки пропорционально кубу ее скорости, необходимо сначала найти выражения для скорости $v(t)$ и ускорения $a(t)$ как функции времени, а затем установить между ними требуемую зависимость.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = \sqrt{t}$.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $t$. Запишем закон движения в виде $x(t) = t^{1/2}$ и продифференцируем:
$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2} t^{1/2 - 1} = \frac{1}{2} t^{-1/2}$.

Ускорение $a(t)$ является второй производной от координаты по времени $t$, или первой производной от скорости:
$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} t^{-1/2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) t^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$.

Теперь необходимо показать, что $a(t)$ пропорционально $[v(t)]^3$. Это означает, что существует такая константа $k$, что $a(t) = k \cdot [v(t)]^3$.
Найдем куб скорости, используя полученное выражение для $v(t)$:
$[v(t)]^3 = \left( \frac{1}{2} t^{-1/2} \right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 (t^{-1/2})^3 = \frac{1}{8} t^{-3/2}$.
Из этого соотношения выразим $t^{-3/2}$:
$t^{-3/2} = 8 [v(t)]^3$.
Теперь подставим это выражение в формулу для ускорения $a(t) = -\frac{1}{4} t^{-3/2}$:
$a(t) = -\frac{1}{4} (8 [v(t)]^3) = -2 [v(t)]^3$.

Мы получили соотношение $a(t) = -2[v(t)]^3$. Это означает, что ускорение прямо пропорционально кубу скорости с коэффициентом пропорциональности $k = -2$. Утверждение доказано.

Ответ: Для точки, движущейся по закону $x(t)=\sqrt{t}$, ее скорость $v(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}$ и ускорение $a(t)=-\frac{1}{4}t^{-3/2}$. Выражая ускорение через скорость, получаем $a(t)=-2[v(t)]^3$, что и доказывает пропорциональность ускорения кубу скорости с коэффициентом $k=-2$.