Номер 269, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 269, страница 142.

Условие.

269.— Вращение тела вокруг оси совершается по закону $\varphi (t) = 3t^2 - 4t + 2$. Найдите угловую скорость $\omega (t)$ в произвольный момент времени $t$ и при $t = 4$ с. ($\varphi (t)$ — угол в радианах, $\omega (t)$ — скорость в радианах в секунду, $t$ — время в секундах.)

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Нахождение угловой скорости $\omega(t)$ в произвольный момент времени $t$

Угловая скорость $\omega(t)$ является первой производной от угла поворота $\varphi(t)$ по времени $t$. Это физический смысл производной в данной задаче.

Формула связи: $\omega(t) = \varphi'(t)$.

Закон вращения тела задан функцией: $\varphi(t) = 3t^2 - 4t + 2$.

Чтобы найти функцию угловой скорости $\omega(t)$, необходимо найти производную функции $\varphi(t)$ по времени $t$:

$\omega(t) = \varphi'(t) = (3t^2 - 4t + 2)'$

Используем правила дифференцирования:

$(3t^2)' = 3 \cdot 2 \cdot t^{2-1} = 6t$

$(4t)' = 4 \cdot 1 \cdot t^{1-1} = 4$

$(2)' = 0$

Складываем полученные результаты:

$\omega(t) = 6t - 4 + 0 = 6t - 4$.

Таким образом, угловая скорость в произвольный момент времени $t$ выражается формулой $\omega(t) = 6t - 4$ (рад/с).

Ответ: $\omega(t) = 6t - 4$.

Нахождение угловой скорости $\omega(t)$ при $t=4$ с

Для того чтобы найти угловую скорость в конкретный момент времени $t = 4$ с, нужно подставить это значение в полученную ранее формулу для $\omega(t)$.

$\omega(4) = 6 \cdot 4 - 4$

Выполняем вычисления:

$\omega(4) = 24 - 4 = 20$.

Следовательно, в момент времени $t=4$ с угловая скорость тела составляет 20 рад/с.

Ответ: $\omega(4) = 20$ рад/с.