Номер 265, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 265, страница 136.

Условие.

265. а) $\cos \left(\frac{\pi}{6}+0,04\right)$;

б) $\sin \left(\frac{\pi}{3}-0,02\right)$;

в) $\sin \left(\frac{\pi}{6}+0,03\right)$;

г) $\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{4}+0,05\right)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Эта формула основана на замене приращения функции ее дифференциалом и геометрически означает замену графика функции касательной в точке $(x_0, f(x_0))$.

а) Вычислим приближенное значение $ \cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. В нашем случае точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$, а приращение аргумента $\Delta x = 0,04$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot 0,04 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0,02$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$\frac{1,732}{2} - 0,02 = 0,866 - 0,02 = 0,846$.
Ответ: $ \cos(\frac{\pi}{6} + 0,04) \approx 0,846 $.

б) Вычислим приближенное значение $ \sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$, приращение $\Delta x = -0,02$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0,01$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$\frac{1,732}{2} - 0,01 = 0,866 - 0,01 = 0,856$.
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{3} - 0,02) \approx 0,856 $.

в) Вычислим приближенное значение $ \sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$, приращение $\Delta x = 0,03$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0,5$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,03$.
5. Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1,732$:
$0,5 + \frac{1,732}{2} \cdot 0,03 = 0,5 + 0,866 \cdot 0,03 = 0,5 + 0,02598 \approx 0,526$.
Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{6} + 0,03) \approx 0,526 $.

г) Вычислим приближенное значение $ \tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) $.

Рассмотрим функцию $f(x) = \tg(x)$. Точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$, приращение $\Delta x = 0,05$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$.
3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{2/4} = 2$.
4. Подставим найденные значения в формулу приближения:
$\tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x = 1 + 2 \cdot 0,05 = 1 + 0,1 = 1,1$.
Ответ: $ \tg(\frac{\pi}{4} + 0,05) \approx 1,1 $.