Номер 261, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 261, страница 136.

Условие.

261.— Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции $f$ в точках $x_1$ и $x_2$:

а) $f(x) = x^4 + 2x, x_1 = 2,016, x_2 = 0,97;$

б) $f(x) = x^5 - x^2, x_1 = 1,995, x_2 = 0,96;$

в) $f(x) = x^3 - x, x_1 = 3,02, x_2 = 0,92;$

г) $f(x) = x^2 + 3x, x_1 = 5,04, x_2 = 1,98.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для вычисления приближенных значений функции используется формула линейного приближения (касательной), которая, по-видимому, подразумевается под "формулой (1)":

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $x_0$ — точка, близкая к точке $x = x_0 + \Delta x$, в которой легко вычислить значение функции и ее производной, а $\Delta x = x - x_0$ — малое приращение аргумента.

а) $f(x) = x^4 + 2x$, $x_1 = 2,016$, $x_2 = 0,97$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^4 + 2x)' = 4x^3 + 2$.

Для $x_1 = 2,016$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда приращение $\Delta x = x_1 - x_0 = 2,016 - 2 = 0,016$.
Вычислим значения функции и производной в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20$.
$f'(x_0) = f'(2) = 4 \cdot 2^3 + 2 = 4 \cdot 8 + 2 = 34$.
Подставим значения в формулу приближения:
$f(2,016) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 20 + 34 \cdot 0,016 = 20 + 0,544 = 20,544$.

Для $x_2 = 0,97$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = x_2 - x_0 = 0,97 - 1 = -0,03$.
Вычислим значения функции и производной в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$.
$f'(x_0) = f'(1) = 4 \cdot 1^3 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Подставим значения в формулу приближения:
$f(0,97) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 3 + 6 \cdot (-0,03) = 3 - 0,18 = 2,82$.

Ответ: $f(2,016) \approx 20,544$; $f(0,97) \approx 2,82$.

б) $f(x) = x^5 - x^2$, $x_1 = 1,995$, $x_2 = 0,96$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$.

Для $x_1 = 1,995$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда $\Delta x = 1,995 - 2 = -0,005$.
$f(2) = 2^5 - 2^2 = 32 - 4 = 28$.
$f'(2) = 5 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2 = 5 \cdot 16 - 4 = 80 - 4 = 76$.
$f(1,995) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 28 + 76 \cdot (-0,005) = 28 - 0,38 = 27,62$.

Для $x_2 = 0,96$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда $\Delta x = 0,96 - 1 = -0,04$.
$f(1) = 1^5 - 1^2 = 1 - 1 = 0$.
$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3$.
$f(0,96) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 0 + 3 \cdot (-0,04) = -0,12$.

Ответ: $f(1,995) \approx 27,62$; $f(0,96) \approx -0,12$.

в) $f(x) = x^3 - x$, $x_1 = 3,02$, $x_2 = 0,92$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.

Для $x_1 = 3,02$ выберем опорную точку $x_0 = 3$. Тогда $\Delta x = 3,02 - 3 = 0,02$.
$f(3) = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24$.
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 1 = 3 \cdot 9 - 1 = 26$.
$f(3,02) \approx f(3) + f'(3) \cdot \Delta x = 24 + 26 \cdot 0,02 = 24 + 0,52 = 24,52$.

Для $x_2 = 0,92$ выберем опорную точку $x_0 = 1$. Тогда $\Delta x = 0,92 - 1 = -0,08$.
$f(1) = 1^3 - 1 = 0$.
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 1 = 3 - 1 = 2$.
$f(0,92) \approx f(1) + f'(1) \cdot \Delta x = 0 + 2 \cdot (-0,08) = -0,16$.

Ответ: $f(3,02) \approx 24,52$; $f(0,92) \approx -0,16$.

г) $f(x) = x^2 + 3x$, $x_1 = 5,04$, $x_2 = 1,98$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$.

Для $x_1 = 5,04$ выберем опорную точку $x_0 = 5$. Тогда $\Delta x = 5,04 - 5 = 0,04$.
$f(5) = 5^2 + 3 \cdot 5 = 25 + 15 = 40$.
$f'(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$.
$f(5,04) \approx f(5) + f'(5) \cdot \Delta x = 40 + 13 \cdot 0,04 = 40 + 0,52 = 40,52$.

Для $x_2 = 1,98$ выберем опорную точку $x_0 = 2$. Тогда $\Delta x = 1,98 - 2 = -0,02$.
$f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$.
$f'(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$.
$f(1,98) \approx f(2) + f'(2) \cdot \Delta x = 10 + 7 \cdot (-0,02) = 10 - 0,14 = 9,86$.

Ответ: $f(5,04) \approx 40,52$; $f(1,98) \approx 9,86$.