Номер 262, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 262, страница 136.

Условие.

Вычислите с помощью формулы (1) и (3) приближенные значения (262—263).

262. а) $1{,}002^{100}$;

б) $0{,}995^{6}$;

в) $1{,}03^{200}$;

г) $0{,}998^{20}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления приближенного значения выражения $1.002^{100}$ воспользуемся формулой приближенного вычисления вида $(1+x)^n \approx 1+nx$. В данном случае основание степени можно представить как $1.002 = 1 + 0.002$. Таким образом, мы имеем $x=0.002$ и $n=100$. Подставим эти значения в формулу: $1.002^{100} = (1 + 0.002)^{100} \approx 1 + 100 \cdot 0.002 = 1 + 0.2 = 1.2$.

Ответ: $1.2$.

б) Для вычисления приближенного значения $0.995^6$ воспользуемся формулой вида $(1-x)^n \approx 1-nx$. Представим основание степени $0.995$ в виде $1 - 0.005$. В этом случае $x=0.005$ и $n=6$. Применим формулу с нашими значениями: $0.995^6 = (1 - 0.005)^6 \approx 1 - 6 \cdot 0.005 = 1 - 0.03 = 0.97$.

Ответ: $0.97$.

в) Для вычисления приближенного значения $1.03^{200}$ используем ту же формулу, что и в пункте а): $(1+x)^n \approx 1+nx$. Здесь основание степени $1.03 = 1 + 0.03$, следовательно $x=0.03$ и $n=200$. Подставляем значения в формулу приближения: $1.03^{200} = (1 + 0.03)^{200} \approx 1 + 200 \cdot 0.03 = 1 + 6 = 7$.

Ответ: $7$.

г) Для вычисления приближенного значения $0.998^{20}$ используем формулу из пункта б): $(1-x)^n \approx 1-nx$. Основание степени $0.998$ можно записать как $1 - 0.002$. Таким образом, $x=0.002$ и $n=20$. Произведем вычисление по формуле: $0.998^{20} = (1 - 0.002)^{20} \approx 1 - 20 \cdot 0.002 = 1 - 0.04 = 0.96$.

Ответ: $0.96$.