Номер 263, страница 136 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 263, страница 136.

Условие.

263. a) $\sqrt{1,004}$;б) $\sqrt{25,012}$;в) $\sqrt{0,997}$;г) $\sqrt{4,0016}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач воспользуемся формулой приближенного вычисления значения функции с помощью дифференциала:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$

В данном случае мы ищем приближенное значение квадратного корня, поэтому наша функция $f(x) = \sqrt{x}$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, формула для приближенного вычисления квадратного корня будет выглядеть так:

$\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}} \cdot \Delta x$

Здесь $x_0$ — это число, близкое к подкоренному выражению, из которого легко извлекается квадратный корень, а $\Delta x$ — это малая разность между подкоренным выражением и $x_0$.

а) Найдем приближенное значение $\sqrt{1,004}$.

Представим подкоренное выражение в виде суммы: $1,004 = 1 + 0,004$.

Выберем $x_0 = 1$ (это ближайший к $1,004$ точный квадрат) и $\Delta x = 0,004$.

Теперь найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = \sqrt{1} = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt{1,004} \approx 1 + 0,5 \cdot 0,004 = 1 + 0,002 = 1,002$.

Ответ: $1,002$.

б) Найдем приближенное значение $\sqrt{25,012}$.

Представим подкоренное выражение в виде суммы: $25,012 = 25 + 0,012$.

Выберем $x_0 = 25$ и $\Delta x = 0,012$.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 25$:

$f(x_0) = \sqrt{25} = 5$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{25,012} \approx 5 + 0,1 \cdot 0,012 = 5 + 0,0012 = 5,0012$.

Ответ: $5,0012$.

в) Найдем приближенное значение $\sqrt{0,997}$.

Представим подкоренное выражение в виде $0,997 = 1 - 0,003$.

Выберем $x_0 = 1$ и $\Delta x = -0,003$.

Значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$ мы уже находили в пункте а):

$f(x_0) = \sqrt{1} = 1$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = 0,5$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{0,997} \approx 1 + 0,5 \cdot (-0,003) = 1 - 0,0015 = 0,9985$.

Ответ: $0,9985$.

г) Найдем приближенное значение $\sqrt{4,0016}$.

Представим подкоренное выражение в виде $4,0016 = 4 + 0,0016$.

Выберем $x_0 = 4$ и $\Delta x = 0,0016$.

Найдем значение функции и ее производной в точке $x_0 = 4$:

$f(x_0) = \sqrt{4} = 2$

$f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0,25$

Подставим значения в формулу:

$\sqrt{4,0016} \approx 2 + 0,25 \cdot 0,0016 = 2 + 0,0004 = 2,0004$.

Ответ: $2,0004$.