Номер 271, страница 142 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 5. Применения непрерывности и производной - номер 271, страница 142.

Условие.

271.— Точка движется прямолинейно по закону $x (t) = 2t^3 + t - 1$.

Найдите ускорение в момент времени $t$. В какой момент времени ускорение будет равно:

a) $1 \text{ см}/\text{с}^2$;

б) $2 \text{ см}/\text{с}^2$?

($x (t)$ — перемещение в сантиметрах, $t$ — время в секундах.)

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = 2t^3 + t - 1$, где $x(t)$ — перемещение в сантиметрах, а $t$ — время в секундах.

Чтобы найти ускорение, необходимо найти вторую производную от функции перемещения по времени.

Сначала найдем мгновенную скорость $v(t)$, которая является первой производной от перемещения $x(t)$:
$v(t) = x'(t) = (2t^3 + t - 1)' = 2 \cdot 3t^2 + 1 - 0 = 6t^2 + 1$ (см/с).

Теперь найдем ускорение $a(t)$, которое является первой производной от скорости $v(t)$:
$a(t) = v'(t) = (6t^2 + 1)' = 6 \cdot 2t + 0 = 12t$ (см/с²).

Таким образом, ускорение точки в момент времени $t$ выражается формулой $a(t) = 12t$. Теперь найдем, в какие моменты времени ускорение будет равно заданным значениям.

а) Найдем время $t$, когда ускорение равно 1 см/с².
Для этого решим уравнение, приравняв выражение для ускорения к 1:
$12t = 1$
$t = \frac{1}{12}$
Ответ: ускорение равно 1 см/с² в момент времени $t = \frac{1}{12}$ с.

б) Найдем время $t$, когда ускорение равно 2 см/с².
Для этого решим уравнение, приравняв выражение для ускорения к 2:
$12t = 2$
$t = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
Ответ: ускорение равно 2 см/с² в момент времени $t = \frac{1}{6}$ с.