Страница 124 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

235. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = \frac{1}{2}x + \cos x$;

б) $f(x) = x - \operatorname{tg} x$;

в) $f(x) = 2 \sin x - 1$;

г) $f(x) = x - \cos x$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x + \cos x$.

Для того чтобы решить уравнение $f'(x)=0$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования суммы и производные основных функций, получаем:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x + \cos x)' = (\frac{1}{2}x)' + (\cos x)' = \frac{1}{2} - \sin x$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{1}{2} - \sin x = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ и $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = x - \tg x$.

Область определения этой функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, так как тангенс не определен в этих точках.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \tg x)' = (x)' - (\tg x)' = 1 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} = 1$

$\cos^2 x = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям: $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Если $\cos x = 1$, то $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одно:

$x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не совпадают с точками $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, поэтому они все являются допустимыми решениями.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 2 \sin x - 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2 \sin x - 1)' = (2 \sin x)' - (1)' = 2 \cos x - 0 = 2 \cos x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 \cos x = 0$

$\cos x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Найдите производную каждой из функций (236–238).

236.— а) $f(x) = x^3 \sin 2x;$
б) $f(x) = x^4 + \operatorname{tg} 2x;$
в) $f(x) = \frac{\cos 3x}{x};$
г) $f(x) = \frac{x}{\sin x}.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 \sin 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = \sin 2x$.
Находим производные этих функций.
Производная $u(x)$: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции, так как аргументом синуса является функция $2x$. Производная $(\sin(g(x)))' = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$. В нашем случае $g(x) = 2x$, поэтому $g'(x) = 2$.
Таким образом, $v'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (x^3)' \sin 2x + x^3 (\sin 2x)' = 3x^2 \sin 2x + x^3 (2\cos 2x)$.
Упростим выражение: $f'(x) = 3x^2 \sin 2x + 2x^3 \cos 2x$.
Ответ: $f'(x) = 3x^2 \sin 2x + 2x^3 \cos 2x$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = x^4 + \operatorname{tg} 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.
Производная первого слагаемого: $(x^4)' = 4x^3$.
Производная второго слагаемого $(\operatorname{tg} 2x)'$ находится как производная сложной функции. Производная $(\operatorname{tg}(g(x)))' = \frac{1}{\cos^2(g(x))} \cdot g'(x)$. В данном случае $g(x) = 2x$, и $g'(x) = 2$.
Таким образом, $(\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2 2x}$.
Складываем полученные производные: $f'(x) = 4x^3 + \frac{2}{\cos^2 2x}$.
Ответ: $f'(x) = 4x^3 + \frac{2}{\cos^2 2x}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{\cos 3x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \cos 3x$ (числитель) и $v(x) = x$ (знаменатель).
Сначала найдем производную числителя $u'(x)$. Это производная сложной функции: $u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$.
Производная знаменателя: $v'(x) = (x)' = 1$.
Теперь подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-3\sin 3x) \cdot x - (\cos 3x) \cdot 1}{x^2} = \frac{-3x\sin 3x - \cos 3x}{x^2}$.
Можно вынести знак минус за дробь для более аккуратного вида: $f'(x) = -\frac{3x\sin 3x + \cos 3x}{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{3x\sin 3x + \cos 3x}{x^2}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x)' = 1$.
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Подставляем эти производные в формулу:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1 \cdot \sin x - x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x - x \cos x}{\sin^2 x}$.

237.—

а) $f(x) = \sin^2 x$;

б) $f(x) = \tan x + \cot x$;

в) $f(x) = \cos^2 x$;

г) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Предполагается, что в задаче требуется найти основной (наименьший положительный) период для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = \sin^2 x$

Для нахождения основного периода функции $f(x) = \sin^2 x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Основной период функции $\cos(t)$ равен $2\pi$. Для функции вида $\cos(kx)$ основной период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае мы имеем дело с функцией $\cos(2x)$, где $k=2$. Следовательно, ее основной период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Операции сложения с константой ($\frac{1}{2}$) и умножения на константу ($-\frac{1}{2}$) не влияют на значение периода. Следовательно, основной период функции $f(x) = \sin^2 x$ равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

б) $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$

Для нахождения основного периода преобразуем данную функцию. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус:
$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$f(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Период этой функции совпадает с периодом функции $\sin(2x)$.
Основной период функции $\sin(t)$ равен $2\pi$. Для функции $\sin(kx)$ основной период $T$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=2$, поэтому период равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

в) $f(x) = \cos^2 x$

Для нахождения основного периода функции $f(x) = \cos^2 x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Функция принимает вид: $f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.
Как и в пункте а), период этой функции определяется периодом функции $\cos(2x)$.
Основной период функции $\cos(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Сложение с константой и умножение на константу не изменяют период. Следовательно, основной период функции $f(x) = \cos^2 x$ равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

г) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для любого действительного значения $x$.
Таким образом, данная функция является константой: $f(x) = 1$.
Функция является периодической, если существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x)=1$ имеем: $f(x+T) = 1$ и $f(x) = 1$. Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого числа $T$.
Основным периодом называется наименьшее положительное число $T$, удовлетворяющее этому условию. Так как периодом является любое число $T \neq 0$, наименьшего положительного периода не существует.
Ответ: функция является периодической, но не имеет основного периода (периодом является любое действительное число $T \neq 0$).

238. — a) $f(x) = \cos 2x \sin x + \sin 2x \cos x;$

б) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4};$

в) $f(x) = \sin 5x \sin 3x + \cos 5x \cos 3x;$

г) $f(x) = \sin 3x \cos 3x.$

а) Дана функция $f(x) = \cos 2x \sin x + \sin 2x \cos x$.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

Тогда мы можем упростить функцию:

$f(x) = \sin(2x + x) = \sin(3x)$.

Ответ: $f(x) = \sin(3x)$.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}$.

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Здесь $\alpha = \frac{x}{4}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = \cos(\frac{x}{2})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{2})$.

в) Дана функция $f(x) = \sin 5x \sin 3x + \cos 5x \cos 3x$.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В данном случае, пусть $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$.

Следовательно, функция упрощается до:

$f(x) = \cos(5x - 3x) = \cos(2x)$.

Ответ: $f(x) = \cos(2x)$.

г) Дана функция $f(x) = \sin 3x \cos 3x$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

Здесь $\alpha = 3x$.

Подставляя в формулу, получаем:

$f(x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2} \sin(6x)$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$.

239. Найдите точки, в которых $f'(x) = 0$, $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = 2 \sin^2 x - \sqrt{2} x$;

б) $f(x) = 2x + \cos (4x - \pi)$;

в) $f(x) = \cos 2x$;

г) $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3} x$.

а) Дана функция $f(x) = 2 \sin^2 x - \sqrt{2} x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$. Для упрощения воспользуемся формулой понижения степени $2 \sin^2 x = 1 - \cos(2x)$. Тогда функция примет вид $f(x) = 1 - \cos(2x) - \sqrt{2}x$.

Производная этой функции: $f'(x) = (1 - \cos(2x) - \sqrt{2}x)' = 0 - (-\sin(2x) \cdot 2) - \sqrt{2} = 2\sin(2x) - \sqrt{2}$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2\sin(2x) - \sqrt{2} = 0 \implies \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения имеет вид $2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим $x$: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2\sin(2x) - \sqrt{2} > 0 \implies \sin(2x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства является совокупность интервалов: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{3\pi}{8} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = 2x + \cos(4x - \pi)$.

1. Найдем производную $f'(x)$. Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \pi) = -\cos(\alpha)$, упростим функцию: $f(x) = 2x - \cos(4x)$.

Теперь найдем производную: $f'(x) = (2x - \cos(4x))' = 2 - (-\sin(4x) \cdot 4) = 2 + 4\sin(4x)$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2 + 4\sin(4x) = 0 \implies \sin(4x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение: $4x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2 + 4\sin(4x) > 0 \implies \sin(4x) > -\frac{1}{2}$.

Решением неравенства является совокупность интервалов: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 4, получаем: $-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = \cos 2x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$-2\sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$.

Общее решение: $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$-2\sin(2x) > 0 \implies \sin(2x) < 0$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов: $\pi + 2\pi n < 2x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}x$.

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

$f'(x) = (\sin 2x - \sqrt{3}x)' = \cos(2x) \cdot 2 - \sqrt{3} = 2\cos(2x) - \sqrt{3}$.

2. Найдем точки, в которых $f'(x) = 0$.

$2\cos(2x) - \sqrt{3} = 0 \implies \cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение: $2x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдем точки, в которых $f'(x) > 0$.

$2\cos(2x) - \sqrt{3} > 0 \implies \cos(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого неравенства является совокупность интервалов: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем: $-\frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $f'(x) = 0$ при $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{12} + \pi n, \frac{\pi}{12} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

240. Задайте формулой хотя бы одну функцию $f$, если:

а) $f'(x) = 1 - \sin x$;

б) $f'(x) = 2 \cos 2x$;

в) $f'(x) = -\cos x$;

г) $f'(x) = 3 \sin x$.

а)

Чтобы найти функцию $f(x)$, зная ее производную $f'(x) = 1 - \sin x$, необходимо найти первообразную для $f'(x)$. Это делается путем интегрирования.

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (1 - \sin x) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два:

$f(x) = \int 1 dx - \int \sin x dx$

Интеграл от константы 1 равен $x$. Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$. Таким образом, получаем:

$f(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию задачи требуется найти хотя бы одну такую функцию, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Пусть $C = 0$.

Тогда одна из возможных функций будет $f(x) = x + \cos x$.

Проверим, найдя производную: $f'(x) = (x + \cos x)' = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = x + \cos x$.

б)

Дана производная $f'(x) = 2 \cos 2x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 2 \cos 2x dx = 2 \int \cos 2x dx$

Это интеграл от сложной функции. Первообразная для $\cos u$ есть $\sin u$. Для $\cos(kx)$ первообразная равна $\frac{1}{k}\sin(kx)$. В нашем случае $k=2$.

$f(x) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right) + C = \sin 2x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = \sin 2x$.

Проверка: $f'(x) = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = \sin 2x$.

в)

Дана производная $f'(x) = -\cos x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int (-\cos x) dx = - \int \cos x dx$

Интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$.

$f(x) = - \sin x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = -\sin x$.

Проверка: $f'(x) = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = -\sin x$.

г)

Дана производная $f'(x) = 3 \sin x$. Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования:

$f(x) = \int 3 \sin x dx = 3 \int \sin x dx$

Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$.

$f(x) = 3 \cdot (-\cos x) + C = -3 \cos x + C$

Выберем $C=0$. Тогда одна из возможных функций: $f(x) = -3 \cos x$.

Проверка: $f'(x) = (-3 \cos x)' = -3 (\cos x)' = -3 (-\sin x) = 3 \sin x$. Решение верно.

Ответ: $f(x) = -3 \cos x$.