Страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите производные функций (208—211).

208.

a) $f(x) = x^2 + x^3$;

б) $f(x) = \frac{1}{x} + 5x - 2$;

в) $f(x) = x^2 + 3x - 1$;

г) $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + x^3$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной степенной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных, то есть $(u+v)' = u' + v'$. Формула производной для степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяем эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (x^2 + x^3)' = (x^2)' + (x^3)'$

Находим производную для каждого слагаемого отдельно:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Теперь складываем полученные производные:

$f'(x) = 2x + 3x^2$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3x^2$

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x} + 5x - 2$.

Для удобства дифференцирования представим первое слагаемое в виде степени: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

Тогда функция имеет вид: $f(x) = x^{-1} + 5x - 2$.

Используем правила дифференцирования: производная суммы/разности, производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производная произведения константы на функцию $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, и производная константы $(c)'=0$.

$f'(x) = (x^{-1} + 5x - 2)' = (x^{-1})' + (5x)' - (2)'$

Находим производную для каждого члена:

$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$(5x)' = 5 \cdot (x)' = 5 \cdot 1 = 5$

$(2)' = 0$

Собираем все вместе:

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 5 - 0 = 5 - \frac{1}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = 5 - \frac{1}{x^2}$

в)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 1$.

Используем те же правила, что и в предыдущих пунктах.

$f'(x) = (x^2 + 3x - 1)' = (x^2)' + (3x)' - (1)'$

Находим производную для каждого члена:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

$(1)' = 0$ (так как производная любой константы равна нулю)

Объединяем результаты:

$f'(x) = 2x + 3 - 0 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$

г)

Дана функция $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$.

Для нахождения производной представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Функция примет вид: $f(x) = x^3 + x^{\frac{1}{2}}$.

Применяем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^3 + x^{\frac{1}{2}})' = (x^3)' + (x^{\frac{1}{2}})'$

Находим производную для каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

209. а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$;

б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$;

В) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$;

Г) $f(x) = (2x - 3) (1 - x^3)$.

а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$

Для нахождения производной сначала упростим функцию, раскрыв скобки:

$f(x) = x^3 \cdot 4 + x^3 \cdot 2x - x^3 \cdot x^2 = 4x^3 + 2x^4 - x^5$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций:

$f'(x) = (4x^3 + 2x^4 - x^5)' = (4x^3)' + (2x^4)' - (x^5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} - 5x^{5-1}$

$f'(x) = 12x^2 + 8x^3 - 5x^4$

Запишем результат в порядке убывания степеней:

$f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$

Ответ: $f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$

б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и раскроем скобки:

$f(x) = x^{1/2} (2x^2 - x) = 2x^{1/2} \cdot x^2 - x^{1/2} \cdot x^1 = 2x^{2 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 2x^{5/2} - x^{3/2}$

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (2x^{5/2} - x^{3/2})' = (2x^{5/2})' - (x^{3/2})' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

Результат можно также записать с использованием корней:

$f'(x) = 5x\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x}$

Ответ: $f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

в) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$

Раскроем скобки, чтобы упростить функцию:

$f(x) = x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot x^3 = 3x^3 + x^5$

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (3x^3 + x^5)' = (3x^3)' + (x^5)' = 3 \cdot 3x^{3-1} + 5x^{5-1}$

$f'(x) = 9x^2 + 5x^4$

Запишем результат в порядке убывания степеней:

$f'(x) = 5x^4 + 9x^2$

Ответ: $f'(x) = 5x^4 + 9x^2$

г) $f(x) = (2x - 3)(1 - x^3)$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 1 - x^3$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (2x - 3)' = 2$

$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'v + uv' = 2(1 - x^3) + (2x - 3)(-3x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = 2 - 2x^3 - 6x^3 + 9x^2 = -8x^3 + 9x^2 + 2$

Ответ: $f'(x) = -8x^3 + 9x^2 + 2$

210. a) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$;

б) $y = \frac{x^2}{2x-1}$;

в) $y = \frac{3x-2}{5x+8}$;

г) $y = \frac{3-4x}{x^2}$.

Для нахождения производных данных функций используется правило дифференцирования частного (дроби). Если функция представлена в виде $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, то ее производная находится по формуле:

$y' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

где $u'$ и $v'$ — это производные функций $u(x)$ и $v(x)$ соответственно.

а) $y = \frac{1+2x}{3-5x}$

В этой функции числитель $u = 1+2x$ и знаменатель $v = 3-5x$.

Находим их производные:

$u' = (1+2x)' = 2$

$v' = (3-5x)' = -5$

Подставляем найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(1+2x)'(3-5x) - (1+2x)(3-5x)'}{(3-5x)^2} = \frac{2(3-5x) - (1+2x)(-5)}{(3-5x)^2}$

Теперь упростим выражение в числителе:

$\frac{6 - 10x - (-5 - 10x)}{(3-5x)^2} = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3-5x)^2} = \frac{11}{(3-5x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{11}{(3-5x)^2}$

б) $y = \frac{x^2}{2x-1}$

Здесь $u = x^2$ и $v = 2x-1$.

Находим производные:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (2x-1)' = 2$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^2)'(2x-1) - x^2(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{2x(2x-1) - x^2 \cdot 2}{(2x-1)^2}$

Упрощаем числитель:

$\frac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{2x^2 - 2x}{(2x-1)^2}$

в) $y = \frac{3x-2}{5x+8}$

Здесь $u = 3x-2$ и $v = 5x+8$.

Находим производные:

$u' = (3x-2)' = 3$

$v' = (5x+8)' = 5$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(3x-2)'(5x+8) - (3x-2)(5x+8)'}{(5x+8)^2} = \frac{3(5x+8) - (3x-2) \cdot 5}{(5x+8)^2}$

Упрощаем числитель:

$\frac{15x + 24 - (15x - 10)}{(5x+8)^2} = \frac{15x + 24 - 15x + 10}{(5x+8)^2} = \frac{34}{(5x+8)^2}$

Ответ: $y' = \frac{34}{(5x+8)^2}$

г) $y = \frac{3-4x}{x^2}$

Здесь $u = 3-4x$ и $v = x^2$.

Находим производные:

$u' = (3-4x)' = -4$

$v' = (x^2)' = 2x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(3-4x)'(x^2) - (3-4x)(x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{-4 \cdot x^2 - (3-4x) \cdot 2x}{x^4}$

Упрощаем числитель:

$\frac{-4x^2 - (6x - 8x^2)}{x^4} = \frac{-4x^2 - 6x + 8x^2}{x^4} = \frac{4x^2 - 6x}{x^4}$

Сократим полученную дробь, вынеся общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(4x-6)}{x^4} = \frac{4x-6}{x^3}$

Ответ: $y' = \frac{4x-6}{x^3}$

211.-

а) $y = x^8 - 3x^4 - x + 5;$

б) $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x};$

в) $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1;$

г) $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1.$

а) Найдём производную функции $y = x^8 - 3x^4 - x + 5$.

Для нахождения производной воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

• Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
• Производная константы: $(C)' = 0$

Применим эти правила для каждого слагаемого в функции:

$y' = (x^8 - 3x^4 - x + 5)' = (x^8)' - (3x^4)' - (x^1)' + (5)'$

$(x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$

$(3x^4)' = 3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$

$(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$

$(5)' = 0$

Теперь объединим полученные результаты:

$y' = 8x^7 - 12x^3 - 1 + 0 = 8x^7 - 12x^3 - 1$

Ответ: $y' = 8x^7 - 12x^3 - 1$

б) Найдём производную функции $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы степенных функций:

$\frac{x}{3} = \frac{1}{3}x$

$\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, $y = \frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}$.

Найдём производную, используя те же правила, что и в пункте а):

$y' = (\frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}})' = (\frac{1}{3}x)' - (4x^{-2})' + (x^{\frac{1}{2}})'$

$(\frac{1}{3}x)' = \frac{1}{3} \cdot (x)' = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

$(4x^{-2})' = 4 \cdot (x^{-2})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -8x^{-3}$

$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Собираем все вместе:

$y' = \frac{1}{3} - (-8x^{-3}) + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} + 8x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Вернемся к исходной форме записи:

$y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) Найдём производную функции $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1$.

Используем правила дифференцирования, аналогичные пункту а):

$y' = (x^7 - 4x^5 + 2x - 1)' = (x^7)' - (4x^5)' + (2x)' - (1)'$

$(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$

$(4x^5)' = 4 \cdot (x^5)' = 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$

$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$

$(1)' = 0$

Объединяем полученные результаты:

$y' = 7x^6 - 20x^4 + 2 - 0 = 7x^6 - 20x^4 + 2$

Ответ: $y' = 7x^6 - 20x^4 + 2$

г) Найдём производную функции $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1$.

Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций, чтобы упростить дифференцирование:

$\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2$

$\frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$

Таким образом, $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1$.

Теперь найдём производную:

$y' = (\frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (3x^{-3})' + (1)'$

$(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$

$(1)' = 0$

Собираем все вместе:

$y' = x - 9x^{-4} + 0 = x - 9x^{-4}$

Представим результат в виде дроби:

$y' = x - \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = x - \frac{9}{x^4}$

212. Вычислите значения производной функции $f$ в данных точках:

a) $f(x) = x^2 - 3x, x = -\frac{1}{2}, x = 2;$

б) $f(x) = x - 4 \sqrt{x}, x = 0,01, x = 4;$

в) $f(x) = x - \frac{1}{x}, x = \sqrt{2}, x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$

г) $f(x) = \frac{3 - x}{2 + x}, x = -3, x = 0.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$.
Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:
$f'(x) = (x^2 - 3x)' = (x^2)' - (3x)' = 2x^{2-1} - 3 \cdot 1 = 2x - 3$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = -\frac{1}{2}$:
$f'(-\frac{1}{2}) = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 3 = -1 - 3 = -4$.
При $x = 2$:
$f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: $f'(-\frac{1}{2}) = -4$; $f'(2) = 1$.

б) Дана функция $f(x) = x - 4\sqrt{x}$.
Для нахождения производной представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$: $f(x) = x - 4x^{1/2}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x - 4x^{1/2})' = (x)' - (4x^{1/2})' = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 1 - 2x^{-1/2} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = 0,01$:
$f'(0,01) = 1 - \frac{2}{\sqrt{0,01}} = 1 - \frac{2}{0,1} = 1 - 20 = -19$.
При $x = 4$:
$f'(4) = 1 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $f'(0,01) = -19$; $f'(4) = 0$.

в) Дана функция $f(x) = x - \frac{1}{x}$.
Для нахождения производной представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$: $f(x) = x - x^{-1}$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (x - x^{-1})' = (x)' - (x^{-1})' = 1 - (-1 \cdot x^{-1-1}) = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = \sqrt{2}$:
$f'(\sqrt{2}) = 1 + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
При $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
$f'(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{1}{(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 1 + 3 = 4$.
Ответ: $f'(\sqrt{2}) = \frac{3}{2}$; $f'(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 4$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{3-x}{2+x}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = 3-x$ и $v(x) = 2+x$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (3-x)' = -1$
$v'(x) = (2+x)' = 1$
Подставим в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{(-1)(2+x) - (3-x)(1)}{(2+x)^2} = \frac{-2 - x - 3 + x}{(2+x)^2} = \frac{-5}{(2+x)^2}$.
Теперь вычислим значения производной в заданных точках.
При $x = -3$:
$f'(-3) = \frac{-5}{(2+(-3))^2} = \frac{-5}{(-1)^2} = \frac{-5}{1} = -5$.
При $x = 0$:
$f'(0) = \frac{-5}{(2+0)^2} = \frac{-5}{4} = -1,25$.
Ответ: $f'(-3) = -5$; $f'(0) = -1,25$.

213. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

а) $f(x) = 2x^2 - x;$

б) $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12;$

в) $f(x) = \frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x;$

г) $f(x) = 2x - 5x^2.$

Чтобы решить уравнение $f'(x) = 0$, необходимо для каждой функции найти ее производную, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Дана функция $f(x) = 2x^2 - x$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (2x^2 - x)' = (2x^2)' - (x)' = 2 \cdot 2x^{2-1} - 1 \cdot x^{1-1} = 4x - 1$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$4x - 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

Дана функция $f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12$.

Найдем ее производную. Производная константы равна нулю, $(c)' = 0$.

$f'(x) = (-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 12)' = (-\frac{2}{3}x^3)' + (x^2)' + (12)' = -\frac{2}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 0 = -2x^2 + 2x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$-2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-2x = 0$ или $x - 1 = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 1,5x^2 - 4x)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (1,5x^2)' - (4x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 1,5 \cdot 2x - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 4$.

Дана функция $f(x) = 2x - 5x^2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x - 5x^2)' = (2x)' - (5x^2)' = 2 - 5 \cdot 2x = 2 - 10x$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2 - 10x = 0$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$.

214. Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

a) $f(x) = 4x - 3x^2$;

б) $f(x) = x^3 + 1,5x^2$;

в) $f(x) = x^2 - 5x$;

г) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

а)

Дана функция $f(x) = 4x - 3x^2$.

Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования $(u-v)' = u' - v'$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (4x)' - (3x^2)' = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 2x = 4 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4 - 6x < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$-6x < -4$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-4}{-6}$

$x > \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = x^3 + 1,5x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3)' + (1,5x^2)' = 3x^2 + 1,5 \cdot 2x = 3x^2 + 3x$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 + 3x < 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 1) < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x(x + 1) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в)

Дана функция $f(x) = x^2 - 5x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2)' - (5x)' = 2x - 5$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 5 < 0$

Перенесем -5 в правую часть:

$2x < 5$

Разделим обе части на 2:

$x < \frac{5}{2}$

$x < 2,5$

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$.

г)

Дана функция $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x)' - (\frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4 - x^2 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2 - x)(2 + x) < 0$

Найдем корни уравнения $(2 - x)(2 + x) = 0$.

Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции отрицательны вне интервала между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

215.— Найдите производную функции:

а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$;

б) $f(x) = \left(\frac{3}{x} + x^2\right) (2 - \sqrt{x})$;

в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$;

г) $f(x) = \sqrt{x} (3x^5 - x).$

а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$

Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования частного (правило дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 1 + 4x^5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^{3-1} - 3x^{1-1} = 3x^2 - 3$

$v'(x) = (1 + 4x^5)' = 0 + 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) - (x^3 - 3x)(20x^4)}{(1 + 4x^5)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) = 3x^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 4x^5 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 4x^5 = 3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5$

$(x^3 - 3x)(20x^4) = x^3 \cdot 20x^4 - 3x \cdot 20x^4 = 20x^7 - 60x^5$

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель:

$f'(x) = \frac{(3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5) - (20x^7 - 60x^5)}{(1 + 4x^5)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{12x^7 - 20x^7 - 12x^5 + 60x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2} = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$

б) $f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x})$

Для нахождения производной сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Представим функцию в виде степеней переменной $x$.

$f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x}) = (3x^{-1} + x^2)(2 - x^{1/2})$

$f(x) = 3x^{-1} \cdot 2 + 3x^{-1} \cdot (-x^{1/2}) + x^2 \cdot 2 + x^2 \cdot (-x^{1/2})$

$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1+1/2} + 2x^2 - x^{2+1/2}$

$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1/2} + 2x^2 - x^{5/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (6x^{-1})' - (3x^{-1/2})' + (2x^2)' - (x^{5/2})'$

$f'(x) = 6(-1)x^{-1-1} - 3(-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} + 2(2)x^{2-1} - \frac{5}{2}x^{5/2-1}$

$f'(x) = -6x^{-2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} + 4x - \frac{5}{2}x^{3/2}$

Запишем результат, используя дроби и корни:

$f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} = 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} - \frac{6}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = 4x - \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} - 6x^{-2}$

в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 5 - 2x^6$ и $v(x) = 1 - x^3$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (5 - 2x^6)' = -2 \cdot 6x^5 = -12x^5$

$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(-12x^5)(1 - x^3) - (5 - 2x^6)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(-12x^5)(1 - x^3) = -12x^5 + 12x^8$

$-(5 - 2x^6)(-3x^2) = (5 - 2x^6)(3x^2) = 15x^2 - 6x^8$

Подставим раскрытые выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{-12x^5 + 12x^8 + 15x^2 - 6x^8}{(1 - x^3)^2} = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$

Можно вынести общий множитель $3x^2$ в числителе для упрощения вида:

$f'(x) = \frac{3x^2(2x^6 - 4x^3 + 5)}{(1 - x^3)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$

г) $f(x) = \sqrt{x}(3x^5 - x)$

Упростим функцию, раскрыв скобки. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$f(x) = x^{1/2}(3x^5 - x^1) = 3x^{1/2} \cdot x^5 - x^{1/2} \cdot x^1$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$f(x) = 3x^{5 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 3x^{11/2} - x^{3/2}$

Теперь найдем производную как разность производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^{11/2})' - (x^{3/2})'$

$f'(x) = 3 \cdot \frac{11}{2}x^{11/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

Результат можно представить с использованием корней и вынести общий множитель:

$f'(x) = \frac{33}{2}x^4\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3\sqrt{x}}{2}(11x^4 - 1)$

Ответ: $f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

216. Найдите значения x, при которых производная функции f равна нулю:

а) $f(x) = x^5 - 3 \frac{1}{3} x^3 + 5x;$ б) $f(x) = 2x^4 - x^8;$

в) $f(x) = x^4 + 4x;$ г) $f(x) = x^4 - 12x^2.$

а) $f(x) = x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 5x$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем саму производную. Для этого представим смешанную дробь в виде неправильной: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 5x$.

Находим производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^5)' - (\frac{10}{3}x^3)' + (5x)' = 5x^{5-1} - \frac{10}{3} \cdot 3x^{3-1} + 5x^{1-1} = 5x^4 - 10x^2 + 5$.

Далее приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$5x^4 - 10x^2 + 5 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

$y^2 - 2y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(y-1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $y-1 = 0$, то есть $y = 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $f(x) = 2x^4 - x^8$

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^4)' - (x^8)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 8x^{8-1} = 8x^3 - 8x^7$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$8x^3 - 8x^7 = 0$

Вынесем общий множитель $8x^3$ за скобки:

$8x^3(1 - x^4) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $8x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$.

2) $1 - x^4 = 0 \implies x^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, мы получили три значения $x$, при которых производная равна нулю.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

в) $f(x) = x^4 + 4x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' + (4x)' = 4x^{4-1} + 4x^{1-1} = 4x^3 + 4$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$4x^3 + 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^3 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$x^3 = -1$

Извлекаем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $x = -1$.

г) $f(x) = x^4 - 12x^2$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' - (12x^2)' = 4x^{4-1} - 12 \cdot 2x^{2-1} = 4x^3 - 24x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $4x = 0 \implies x = 0$.

2) $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

В итоге, мы получили три значения $x$.

Ответ: $x = -\sqrt{6}, x = 0, x = \sqrt{6}$.