Номер 214, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 214, страница 117.

Условие.

214. Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

a) $f(x) = 4x - 3x^2$;

б) $f(x) = x^3 + 1,5x^2$;

в) $f(x) = x^2 - 5x$;

г) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана функция $f(x) = 4x - 3x^2$.

Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования $(u-v)' = u' - v'$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (4x)' - (3x^2)' = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 2x = 4 - 6x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4 - 6x < 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$-6x < -4$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-4}{-6}$

$x > \frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = x^3 + 1,5x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3)' + (1,5x^2)' = 3x^2 + 1,5 \cdot 2x = 3x^2 + 3x$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 + 3x < 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 1) < 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x(x + 1) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 0$.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в)

Дана функция $f(x) = x^2 - 5x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2)' - (5x)' = 2x - 5$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 5 < 0$

Перенесем -5 в правую часть:

$2x < 5$

Разделим обе части на 2:

$x < \frac{5}{2}$

$x < 2,5$

Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$.

г)

Дана функция $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x)' - (\frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4 - x^2 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2 - x)(2 + x) < 0$

Найдем корни уравнения $(2 - x)(2 + x) = 0$.

Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции отрицательны вне интервала между ее корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.