Номер 214, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 214, страница 117.
№214 (с. 117)
Условие. №214 (с. 117)
скриншот условия

214. Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:
a) $f(x) = 4x - 3x^2$;
б) $f(x) = x^3 + 1,5x^2$;
в) $f(x) = x^2 - 5x$;
г) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.
Решение 1. №214 (с. 117)

Решение 3. №214 (с. 117)

Решение 4. №214 (с. 117)


Решение 5. №214 (с. 117)
а)
Дана функция $f(x) = 4x - 3x^2$.
Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.
Используя правила дифференцирования $(u-v)' = u' - v'$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (4x)' - (3x^2)' = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 2x = 4 - 6x$.
Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:
$4 - 6x < 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$-6x < -4$
Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{-4}{-6}$
$x > \frac{2}{3}$
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.
б)
Дана функция $f(x) = x^3 + 1,5x^2$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3)' + (1,5x^2)' = 3x^2 + 1,5 \cdot 2x = 3x^2 + 3x$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$3x^2 + 3x < 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x + 1) < 0$
Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x(x + 1) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = 3x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.
в)
Дана функция $f(x) = x^2 - 5x$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^2)' - (5x)' = 2x - 5$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$2x - 5 < 0$
Перенесем -5 в правую часть:
$2x < 5$
Разделим обе части на 2:
$x < \frac{5}{2}$
$x < 2,5$
Ответ: $x \in (-\infty; 2,5)$.
г)
Дана функция $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4x)' - (\frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.
Решим неравенство $f'(x) < 0$:
$4 - x^2 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(2 - x)(2 + x) < 0$
Найдем корни уравнения $(2 - x)(2 + x) = 0$.
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции отрицательны вне интервала между ее корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 214 расположенного на странице 117 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №214 (с. 117), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.