Номер 211, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 211, страница 117.

Условие.

211.-

а) $y = x^8 - 3x^4 - x + 5;$

б) $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x};$

в) $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1;$

г) $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Найдём производную функции $y = x^8 - 3x^4 - x + 5$.

Для нахождения производной воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

• Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
• Производная константы: $(C)' = 0$

Применим эти правила для каждого слагаемого в функции:

$y' = (x^8 - 3x^4 - x + 5)' = (x^8)' - (3x^4)' - (x^1)' + (5)'$

$(x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$

$(3x^4)' = 3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$

$(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$

$(5)' = 0$

Теперь объединим полученные результаты:

$y' = 8x^7 - 12x^3 - 1 + 0 = 8x^7 - 12x^3 - 1$

Ответ: $y' = 8x^7 - 12x^3 - 1$

б) Найдём производную функции $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы степенных функций:

$\frac{x}{3} = \frac{1}{3}x$

$\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, $y = \frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}$.

Найдём производную, используя те же правила, что и в пункте а):

$y' = (\frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}})' = (\frac{1}{3}x)' - (4x^{-2})' + (x^{\frac{1}{2}})'$

$(\frac{1}{3}x)' = \frac{1}{3} \cdot (x)' = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

$(4x^{-2})' = 4 \cdot (x^{-2})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -8x^{-3}$

$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Собираем все вместе:

$y' = \frac{1}{3} - (-8x^{-3}) + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} + 8x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Вернемся к исходной форме записи:

$y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) Найдём производную функции $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1$.

Используем правила дифференцирования, аналогичные пункту а):

$y' = (x^7 - 4x^5 + 2x - 1)' = (x^7)' - (4x^5)' + (2x)' - (1)'$

$(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$

$(4x^5)' = 4 \cdot (x^5)' = 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$

$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$

$(1)' = 0$

Объединяем полученные результаты:

$y' = 7x^6 - 20x^4 + 2 - 0 = 7x^6 - 20x^4 + 2$

Ответ: $y' = 7x^6 - 20x^4 + 2$

г) Найдём производную функции $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1$.

Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций, чтобы упростить дифференцирование:

$\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2$

$\frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$

Таким образом, $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1$.

Теперь найдём производную:

$y' = (\frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (3x^{-3})' + (1)'$

$(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$

$(1)' = 0$

Собираем все вместе:

$y' = x - 9x^{-4} + 0 = x - 9x^{-4}$

Представим результат в виде дроби:

$y' = x - \frac{9}{x^4}$

Ответ: $y' = x - \frac{9}{x^4}$