Номер 211, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 211, страница 117.
№211 (с. 117)
Условие. №211 (с. 117)
скриншот условия

211.-
а) $y = x^8 - 3x^4 - x + 5;$
б) $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x};$
в) $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1;$
г) $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1.$
Решение 1. №211 (с. 117)

Решение 3. №211 (с. 117)

Решение 4. №211 (с. 117)

Решение 5. №211 (с. 117)
а) Найдём производную функции $y = x^8 - 3x^4 - x + 5$.
Для нахождения производной воспользуемся следующими правилами дифференцирования:
- Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$
- Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$
- Производная константы: $(C)' = 0$
Применим эти правила для каждого слагаемого в функции:
$y' = (x^8 - 3x^4 - x + 5)' = (x^8)' - (3x^4)' - (x^1)' + (5)'$
$(x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$
$(3x^4)' = 3 \cdot (x^4)' = 3 \cdot 4x^{4-1} = 12x^3$
$(x)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$
$(5)' = 0$
Теперь объединим полученные результаты:
$y' = 8x^7 - 12x^3 - 1 + 0 = 8x^7 - 12x^3 - 1$
Ответ: $y' = 8x^7 - 12x^3 - 1$
б) Найдём производную функции $y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}$.
Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы степенных функций:
$\frac{x}{3} = \frac{1}{3}x$
$\frac{4}{x^2} = 4x^{-2}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
Таким образом, $y = \frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}$.
Найдём производную, используя те же правила, что и в пункте а):
$y' = (\frac{1}{3}x - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}})' = (\frac{1}{3}x)' - (4x^{-2})' + (x^{\frac{1}{2}})'$
$(\frac{1}{3}x)' = \frac{1}{3} \cdot (x)' = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$
$(4x^{-2})' = 4 \cdot (x^{-2})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} = -8x^{-3}$
$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
Собираем все вместе:
$y' = \frac{1}{3} - (-8x^{-3}) + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} + 8x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
Вернемся к исходной форме записи:
$y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = \frac{1}{3} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$
в) Найдём производную функции $y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1$.
Используем правила дифференцирования, аналогичные пункту а):
$y' = (x^7 - 4x^5 + 2x - 1)' = (x^7)' - (4x^5)' + (2x)' - (1)'$
$(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$
$(4x^5)' = 4 \cdot (x^5)' = 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$
$(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$
$(1)' = 0$
Объединяем полученные результаты:
$y' = 7x^6 - 20x^4 + 2 - 0 = 7x^6 - 20x^4 + 2$
Ответ: $y' = 7x^6 - 20x^4 + 2$
г) Найдём производную функции $y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1$.
Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций, чтобы упростить дифференцирование:
$\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^2$
$\frac{3}{x^3} = 3x^{-3}$
Таким образом, $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1$.
Теперь найдём производную:
$y' = (\frac{1}{2}x^2 + 3x^{-3} + 1)' = (\frac{1}{2}x^2)' + (3x^{-3})' + (1)'$
$(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = x$
$(3x^{-3})' = 3 \cdot (x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$
$(1)' = 0$
Собираем все вместе:
$y' = x - 9x^{-4} + 0 = x - 9x^{-4}$
Представим результат в виде дроби:
$y' = x - \frac{9}{x^4}$
Ответ: $y' = x - \frac{9}{x^4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 211 расположенного на странице 117 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №211 (с. 117), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.