Номер 215, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 215, страница 117.
№215 (с. 117)
Условие. №215 (с. 117)
скриншот условия

215.— Найдите производную функции:
а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$;
б) $f(x) = \left(\frac{3}{x} + x^2\right) (2 - \sqrt{x})$;
в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$;
г) $f(x) = \sqrt{x} (3x^5 - x).$
Решение 1. №215 (с. 117)

Решение 3. №215 (с. 117)

Решение 4. №215 (с. 117)


Решение 5. №215 (с. 117)
а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$
Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования частного (правило дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 1 + 4x^5$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^{3-1} - 3x^{1-1} = 3x^2 - 3$
$v'(x) = (1 + 4x^5)' = 0 + 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) - (x^3 - 3x)(20x^4)}{(1 + 4x^5)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) = 3x^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 4x^5 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 4x^5 = 3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5$
$(x^3 - 3x)(20x^4) = x^3 \cdot 20x^4 - 3x \cdot 20x^4 = 20x^7 - 60x^5$
Подставим раскрытые выражения обратно в числитель:
$f'(x) = \frac{(3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5) - (20x^7 - 60x^5)}{(1 + 4x^5)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$f'(x) = \frac{12x^7 - 20x^7 - 12x^5 + 60x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2} = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$
б) $f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x})$
Для нахождения производной сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Представим функцию в виде степеней переменной $x$.
$f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x}) = (3x^{-1} + x^2)(2 - x^{1/2})$
$f(x) = 3x^{-1} \cdot 2 + 3x^{-1} \cdot (-x^{1/2}) + x^2 \cdot 2 + x^2 \cdot (-x^{1/2})$
$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1+1/2} + 2x^2 - x^{2+1/2}$
$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1/2} + 2x^2 - x^{5/2}$
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$f'(x) = (6x^{-1})' - (3x^{-1/2})' + (2x^2)' - (x^{5/2})'$
$f'(x) = 6(-1)x^{-1-1} - 3(-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} + 2(2)x^{2-1} - \frac{5}{2}x^{5/2-1}$
$f'(x) = -6x^{-2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} + 4x - \frac{5}{2}x^{3/2}$
Запишем результат, используя дроби и корни:
$f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} = 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} - \frac{6}{x^2}$
Ответ: $f'(x) = 4x - \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} - 6x^{-2}$
в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$
Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 5 - 2x^6$ и $v(x) = 1 - x^3$.
Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (5 - 2x^6)' = -2 \cdot 6x^5 = -12x^5$
$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$
Подставим в формулу:
$f'(x) = \frac{(-12x^5)(1 - x^3) - (5 - 2x^6)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$(-12x^5)(1 - x^3) = -12x^5 + 12x^8$
$-(5 - 2x^6)(-3x^2) = (5 - 2x^6)(3x^2) = 15x^2 - 6x^8$
Подставим раскрытые выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:
$f'(x) = \frac{-12x^5 + 12x^8 + 15x^2 - 6x^8}{(1 - x^3)^2} = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$
Можно вынести общий множитель $3x^2$ в числителе для упрощения вида:
$f'(x) = \frac{3x^2(2x^6 - 4x^3 + 5)}{(1 - x^3)^2}$
Ответ: $f'(x) = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$
г) $f(x) = \sqrt{x}(3x^5 - x)$
Упростим функцию, раскрыв скобки. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.
$f(x) = x^{1/2}(3x^5 - x^1) = 3x^{1/2} \cdot x^5 - x^{1/2} \cdot x^1$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$f(x) = 3x^{5 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 3x^{11/2} - x^{3/2}$
Теперь найдем производную как разность производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (3x^{11/2})' - (x^{3/2})'$
$f'(x) = 3 \cdot \frac{11}{2}x^{11/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$
$f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$
Результат можно представить с использованием корней и вынести общий множитель:
$f'(x) = \frac{33}{2}x^4\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3\sqrt{x}}{2}(11x^4 - 1)$
Ответ: $f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 215 расположенного на странице 117 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №215 (с. 117), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.