Номер 215, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 215, страница 117.

Условие.

215.— Найдите производную функции:

а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$;

б) $f(x) = \left(\frac{3}{x} + x^2\right) (2 - \sqrt{x})$;

в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$;

г) $f(x) = \sqrt{x} (3x^5 - x).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{1 + 4x^5}$

Для нахождения производной данной функции используем правило дифференцирования частного (правило дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x^3 - 3x$ и $v(x) = 1 + 4x^5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^{3-1} - 3x^{1-1} = 3x^2 - 3$

$v'(x) = (1 + 4x^5)' = 0 + 4 \cdot 5x^{5-1} = 20x^4$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) - (x^3 - 3x)(20x^4)}{(1 + 4x^5)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) = 3x^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot 4x^5 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 4x^5 = 3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5$

$(x^3 - 3x)(20x^4) = x^3 \cdot 20x^4 - 3x \cdot 20x^4 = 20x^7 - 60x^5$

Подставим раскрытые выражения обратно в числитель:

$f'(x) = \frac{(3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5) - (20x^7 - 60x^5)}{(1 + 4x^5)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{12x^7 - 20x^7 - 12x^5 + 60x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2} = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2}$

б) $f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x})$

Для нахождения производной сначала упростим выражение, раскрыв скобки. Представим функцию в виде степеней переменной $x$.

$f(x) = (\frac{3}{x} + x^2)(2 - \sqrt{x}) = (3x^{-1} + x^2)(2 - x^{1/2})$

$f(x) = 3x^{-1} \cdot 2 + 3x^{-1} \cdot (-x^{1/2}) + x^2 \cdot 2 + x^2 \cdot (-x^{1/2})$

$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1+1/2} + 2x^2 - x^{2+1/2}$

$f(x) = 6x^{-1} - 3x^{-1/2} + 2x^2 - x^{5/2}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (6x^{-1})' - (3x^{-1/2})' + (2x^2)' - (x^{5/2})'$

$f'(x) = 6(-1)x^{-1-1} - 3(-\frac{1}{2})x^{-1/2-1} + 2(2)x^{2-1} - \frac{5}{2}x^{5/2-1}$

$f'(x) = -6x^{-2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} + 4x - \frac{5}{2}x^{3/2}$

Запишем результат, используя дроби и корни:

$f'(x) = -\frac{6}{x^2} + \frac{3}{2x^{3/2}} + 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} = 4x - \frac{5x\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2x\sqrt{x}} - \frac{6}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = 4x - \frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{-3/2} - 6x^{-2}$

в) $f(x) = \frac{5 - 2x^6}{1 - x^3}$

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 5 - 2x^6$ и $v(x) = 1 - x^3$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (5 - 2x^6)' = -2 \cdot 6x^5 = -12x^5$

$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(-12x^5)(1 - x^3) - (5 - 2x^6)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(-12x^5)(1 - x^3) = -12x^5 + 12x^8$

$-(5 - 2x^6)(-3x^2) = (5 - 2x^6)(3x^2) = 15x^2 - 6x^8$

Подставим раскрытые выражения в числитель и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{-12x^5 + 12x^8 + 15x^2 - 6x^8}{(1 - x^3)^2} = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$

Можно вынести общий множитель $3x^2$ в числителе для упрощения вида:

$f'(x) = \frac{3x^2(2x^6 - 4x^3 + 5)}{(1 - x^3)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2}$

г) $f(x) = \sqrt{x}(3x^5 - x)$

Упростим функцию, раскрыв скобки. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$f(x) = x^{1/2}(3x^5 - x^1) = 3x^{1/2} \cdot x^5 - x^{1/2} \cdot x^1$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$f(x) = 3x^{5 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 3x^{11/2} - x^{3/2}$

Теперь найдем производную как разность производных, используя правило $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^{11/2})' - (x^{3/2})'$

$f'(x) = 3 \cdot \frac{11}{2}x^{11/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

Результат можно представить с использованием корней и вынести общий множитель:

$f'(x) = \frac{33}{2}x^4\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3\sqrt{x}}{2}(11x^4 - 1)$

Ответ: $f'(x) = \frac{33}{2}x^{9/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$