Номер 216, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 216, страница 117.

Условие.

216. Найдите значения x, при которых производная функции f равна нулю:

а) $f(x) = x^5 - 3 \frac{1}{3} x^3 + 5x;$ б) $f(x) = 2x^4 - x^8;$

в) $f(x) = x^4 + 4x;$ г) $f(x) = x^4 - 12x^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 5x$

Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем саму производную. Для этого представим смешанную дробь в виде неправильной: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 5x$.

Находим производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^5)' - (\frac{10}{3}x^3)' + (5x)' = 5x^{5-1} - \frac{10}{3} \cdot 3x^{3-1} + 5x^{1-1} = 5x^4 - 10x^2 + 5$.

Далее приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$5x^4 - 10x^2 + 5 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

$y^2 - 2y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(y-1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $y-1 = 0$, то есть $y = 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$x^2 = 1$

Из этого уравнения находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $f(x) = 2x^4 - x^8$

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^4)' - (x^8)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 8x^{8-1} = 8x^3 - 8x^7$.

Теперь приравняем производную к нулю:

$8x^3 - 8x^7 = 0$

Вынесем общий множитель $8x^3$ за скобки:

$8x^3(1 - x^4) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $8x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$.

2) $1 - x^4 = 0 \implies x^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, мы получили три значения $x$, при которых производная равна нулю.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

в) $f(x) = x^4 + 4x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' + (4x)' = 4x^{4-1} + 4x^{1-1} = 4x^3 + 4$.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$4x^3 + 4 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^3 + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$x^3 = -1$

Извлекаем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $x = -1$.

г) $f(x) = x^4 - 12x^2$

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^4)' - (12x^2)' = 4x^{4-1} - 12 \cdot 2x^{2-1} = 4x^3 - 24x$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $4x = 0 \implies x = 0$.

2) $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

В итоге, мы получили три значения $x$.

Ответ: $x = -\sqrt{6}, x = 0, x = \sqrt{6}$.