Номер 216, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 216, страница 117.
№216 (с. 117)
Условие. №216 (с. 117)
скриншот условия

216. Найдите значения x, при которых производная функции f равна нулю:
а) $f(x) = x^5 - 3 \frac{1}{3} x^3 + 5x;$ б) $f(x) = 2x^4 - x^8;$
в) $f(x) = x^4 + 4x;$ г) $f(x) = x^4 - 12x^2.$
Решение 1. №216 (с. 117)

Решение 3. №216 (с. 117)


Решение 4. №216 (с. 117)

Решение 5. №216 (с. 117)
а) $f(x) = x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 5x$
Чтобы найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю, сначала найдем саму производную. Для этого представим смешанную дробь в виде неправильной: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 5x$.
Находим производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^5)' - (\frac{10}{3}x^3)' + (5x)' = 5x^{5-1} - \frac{10}{3} \cdot 3x^{3-1} + 5x^{1-1} = 5x^4 - 10x^2 + 5$.
Далее приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$5x^4 - 10x^2 + 5 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(y-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $y-1 = 0$, то есть $y = 1$.
Теперь выполним обратную замену:
$x^2 = 1$
Из этого уравнения находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Ответ: $x = -1, x = 1$.
б) $f(x) = 2x^4 - x^8$
Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2x^4)' - (x^8)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 8x^{8-1} = 8x^3 - 8x^7$.
Теперь приравняем производную к нулю:
$8x^3 - 8x^7 = 0$
Вынесем общий множитель $8x^3$ за скобки:
$8x^3(1 - x^4) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $8x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$.
2) $1 - x^4 = 0 \implies x^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, мы получили три значения $x$, при которых производная равна нулю.
Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.
в) $f(x) = x^4 + 4x$
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4)' + (4x)' = 4x^{4-1} + 4x^{1-1} = 4x^3 + 4$.
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$4x^3 + 4 = 0$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x^3 + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$x^3 = -1$
Извлекаем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{-1} = -1$.
Ответ: $x = -1$.
г) $f(x) = x^4 - 12x^2$
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4)' - (12x^2)' = 4x^{4-1} - 12 \cdot 2x^{2-1} = 4x^3 - 24x$.
Приравняем производную к нулю:
$4x^3 - 24x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $4x = 0 \implies x = 0$.
2) $x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 6$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
В итоге, мы получили три значения $x$.
Ответ: $x = -\sqrt{6}, x = 0, x = \sqrt{6}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 216 расположенного на странице 117 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №216 (с. 117), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.