Номер 209, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 209, страница 117.
№209 (с. 117)
Условие. №209 (с. 117)
скриншот условия

209. а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$;
б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$;
В) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$;
Г) $f(x) = (2x - 3) (1 - x^3)$.
Решение 1. №209 (с. 117)

Решение 3. №209 (с. 117)


Решение 4. №209 (с. 117)

Решение 5. №209 (с. 117)
а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$
Для нахождения производной сначала упростим функцию, раскрыв скобки:
$f(x) = x^3 \cdot 4 + x^3 \cdot 2x - x^3 \cdot x^2 = 4x^3 + 2x^4 - x^5$
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций:
$f'(x) = (4x^3 + 2x^4 - x^5)' = (4x^3)' + (2x^4)' - (x^5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} - 5x^{5-1}$
$f'(x) = 12x^2 + 8x^3 - 5x^4$
Запишем результат в порядке убывания степеней:
$f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$
Ответ: $f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$
б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$
Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и раскроем скобки:
$f(x) = x^{1/2} (2x^2 - x) = 2x^{1/2} \cdot x^2 - x^{1/2} \cdot x^1 = 2x^{2 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 2x^{5/2} - x^{3/2}$
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:
$f'(x) = (2x^{5/2} - x^{3/2})' = (2x^{5/2})' - (x^{3/2})' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$
$f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$
Результат можно также записать с использованием корней:
$f'(x) = 5x\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Ответ: $f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$
в) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$
Раскроем скобки, чтобы упростить функцию:
$f(x) = x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot x^3 = 3x^3 + x^5$
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:
$f'(x) = (3x^3 + x^5)' = (3x^3)' + (x^5)' = 3 \cdot 3x^{3-1} + 5x^{5-1}$
$f'(x) = 9x^2 + 5x^4$
Запишем результат в порядке убывания степеней:
$f'(x) = 5x^4 + 9x^2$
Ответ: $f'(x) = 5x^4 + 9x^2$
г) $f(x) = (2x - 3)(1 - x^3)$
Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 1 - x^3$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (2x - 3)' = 2$
$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$f'(x) = u'v + uv' = 2(1 - x^3) + (2x - 3)(-3x^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$f'(x) = 2 - 2x^3 - 6x^3 + 9x^2 = -8x^3 + 9x^2 + 2$
Ответ: $f'(x) = -8x^3 + 9x^2 + 2$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 209 расположенного на странице 117 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №209 (с. 117), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.