Номер 209, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 209, страница 117.

Условие.

209. а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$;

б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$;

В) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$;

Г) $f(x) = (2x - 3) (1 - x^3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)$

Для нахождения производной сначала упростим функцию, раскрыв скобки:

$f(x) = x^3 \cdot 4 + x^3 \cdot 2x - x^3 \cdot x^2 = 4x^3 + 2x^4 - x^5$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы функций:

$f'(x) = (4x^3 + 2x^4 - x^5)' = (4x^3)' + (2x^4)' - (x^5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} - 5x^{5-1}$

$f'(x) = 12x^2 + 8x^3 - 5x^4$

Запишем результат в порядке убывания степеней:

$f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$

Ответ: $f'(x) = -5x^4 + 8x^3 + 12x^2$

б) $f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)$

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и раскроем скобки:

$f(x) = x^{1/2} (2x^2 - x) = 2x^{1/2} \cdot x^2 - x^{1/2} \cdot x^1 = 2x^{2 + 1/2} - x^{1 + 1/2} = 2x^{5/2} - x^{3/2}$

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции:

$f'(x) = (2x^{5/2} - x^{3/2})' = (2x^{5/2})' - (x^{3/2})' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

Результат можно также записать с использованием корней:

$f'(x) = 5x\sqrt{x} - \frac{3}{2}\sqrt{x}$

Ответ: $f'(x) = 5x^{3/2} - \frac{3}{2}x^{1/2}$

в) $f(x) = x^2 (3x + x^3)$

Раскроем скобки, чтобы упростить функцию:

$f(x) = x^2 \cdot 3x + x^2 \cdot x^3 = 3x^3 + x^5$

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (3x^3 + x^5)' = (3x^3)' + (x^5)' = 3 \cdot 3x^{3-1} + 5x^{5-1}$

$f'(x) = 9x^2 + 5x^4$

Запишем результат в порядке убывания степеней:

$f'(x) = 5x^4 + 9x^2$

Ответ: $f'(x) = 5x^4 + 9x^2$

г) $f(x) = (2x - 3)(1 - x^3)$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 1 - x^3$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (2x - 3)' = 2$

$v'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'v + uv' = 2(1 - x^3) + (2x - 3)(-3x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = 2 - 2x^3 - 6x^3 + 9x^2 = -8x^3 + 9x^2 + 2$

Ответ: $f'(x) = -8x^3 + 9x^2 + 2$