Номер 208, страница 117 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 208, страница 117.

Условие.

Найдите производные функций (208—211).

208.

a) $f(x) = x^2 + x^3$;

б) $f(x) = \frac{1}{x} + 5x - 2$;

в) $f(x) = x^2 + 3x - 1$;

г) $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 + x^3$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной степенной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных, то есть $(u+v)' = u' + v'$. Формула производной для степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Применяем эти правила к нашей функции:

$f'(x) = (x^2 + x^3)' = (x^2)' + (x^3)'$

Находим производную для каждого слагаемого отдельно:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Теперь складываем полученные производные:

$f'(x) = 2x + 3x^2$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3x^2$

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x} + 5x - 2$.

Для удобства дифференцирования представим первое слагаемое в виде степени: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

Тогда функция имеет вид: $f(x) = x^{-1} + 5x - 2$.

Используем правила дифференцирования: производная суммы/разности, производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производная произведения константы на функцию $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, и производная константы $(c)'=0$.

$f'(x) = (x^{-1} + 5x - 2)' = (x^{-1})' + (5x)' - (2)'$

Находим производную для каждого члена:

$(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$(5x)' = 5 \cdot (x)' = 5 \cdot 1 = 5$

$(2)' = 0$

Собираем все вместе:

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 5 - 0 = 5 - \frac{1}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = 5 - \frac{1}{x^2}$

в)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x - 1$.

Используем те же правила, что и в предыдущих пунктах.

$f'(x) = (x^2 + 3x - 1)' = (x^2)' + (3x)' - (1)'$

Находим производную для каждого члена:

$(x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

$(1)' = 0$ (так как производная любой константы равна нулю)

Объединяем результаты:

$f'(x) = 2x + 3 - 0 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$

г)

Дана функция $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$.

Для нахождения производной представим квадратный корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Функция примет вид: $f(x) = x^3 + x^{\frac{1}{2}}$.

Применяем правило дифференцирования суммы и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^3 + x^{\frac{1}{2}})' = (x^3)' + (x^{\frac{1}{2}})'$

Находим производную для каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$

$(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Складываем полученные производные:

$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$