Номер 201, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 201, страница 112.

Условие.

201. Известно, что $f(x) \to 1$, $g(x) \to -2$ при $x \to 3$. К какому числу при $x \to 3$ стремится функция:

а) $3f(x) g(x);$

б) $\frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)};$

в) $4f(x) - g(x);$

г) $(3 - g(x)) f(x)?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы воспользуемся основными теоремами о пределах (арифметическими свойствами пределов). Из условия нам известно, что предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к 3, равен 1, и предел функции $g(x)$ при $x$, стремящемся к 3, равен -2. Запишем это в виде формул:
$ \lim_{x \to 3} f(x) = 1 $
$ \lim_{x \to 3} g(x) = -2 $

а) $3f(x)g(x)$
Чтобы найти предел этого выражения, воспользуемся теоремой о пределе произведения функций и свойством вынесения постоянного множителя за знак предела:
$ \lim_{x \to 3} (3f(x)g(x)) = 3 \cdot \lim_{x \to 3} (f(x) \cdot g(x)) = 3 \cdot (\lim_{x \to 3} f(x)) \cdot (\lim_{x \to 3} g(x)) $.
Теперь подставим известные значения пределов в полученное выражение:
$ 3 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 $.
Ответ: -6.

б) $\frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}$
Для нахождения предела этой функции используем теорему о пределе частного. Прежде всего, необходимо убедиться, что предел знаменателя не равен нулю.
Найдем предел знаменателя, используя теорему о пределе суммы:
$ \lim_{x \to 3} (f(x)+g(x)) = \lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x) = 1 + (-2) = -1 $.
Поскольку предел знаменателя -1, что не равно нулю, мы можем применить теорему о пределе частного:
$ \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)} = \frac{\lim_{x \to 3} (f(x)-g(x))}{\lim_{x \to 3} (f(x)+g(x))} = \frac{\lim_{x \to 3} f(x) - \lim_{x \to 3} g(x)}{\lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x)} $.
Подставим известные значения:
$ \frac{1 - (-2)}{1 + (-2)} = \frac{1+2}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3 $.
Ответ: -3.

в) $4f(x)-g(x)$
Для нахождения предела этой функции воспользуемся теоремой о пределе разности и свойством вынесения постоянного множителя:
$ \lim_{x \to 3} (4f(x) - g(x)) = \lim_{x \to 3} (4f(x)) - \lim_{x \to 3} g(x) = 4 \cdot \lim_{x \to 3} f(x) - \lim_{x \to 3} g(x) $.
Подставим известные значения:
$ 4 \cdot 1 - (-2) = 4 + 2 = 6 $.
Ответ: 6.

г) $(3 - g(x))f(x)$
Чтобы найти предел этого выражения, используем теорему о пределе произведения:
$ \lim_{x \to 3} ((3 - g(x))f(x)) = \left(\lim_{x \to 3} (3 - g(x))\right) \cdot \left(\lim_{x \to 3} f(x)\right) $.
Сначала найдем предел первого сомножителя, используя теорему о пределе разности и зная, что предел константы равен самой константе:
$ \lim_{x \to 3} (3 - g(x)) = \lim_{x \to 3} 3 - \lim_{x \to 3} g(x) = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 $.
Теперь подставим найденное значение и известный предел функции $f(x)$ в выражение для предела произведения:
$ 5 \cdot \lim_{x \to 3} f(x) = 5 \cdot 1 = 5 $.
Ответ: 5.