Номер 199, страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 199, страница 112.

Условие.

199.— Является ли функция f непрерывной в каждой точке данного промежутка:

а) $f(x) = x^3 - 4x$, $(-\infty; \infty);$

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$, $[2; \infty);$

в) $f(x) = x^2 + 2x - 1$, $[-10; 20];$

г) $f(x) = 5x - \sqrt{x}$, $(0; \infty)?$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Функция $f(x) = x^3 - 4x$ является многочленом (полиномиальной функцией). Согласно свойству элементарных функций, любой многочлен непрерывен на всей числовой прямой, то есть на промежутке $(-\infty; \infty)$. Следовательно, данная функция непрерывна в каждой точке указанного промежутка.

Ответ: Да.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$ на промежутке $[2; \infty)$.
Функция является частным двух функций: $g(x) = \sqrt{x}$ и $h(x) = x-1$.
Область определения функции находится из условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; 1) \cup (1; \infty)$. Точка $x=1$ является точкой разрыва.
Заданный в условии промежуток $[2; \infty)$. Точка разрыва $x=1$ не входит в этот промежуток.
На промежутке $[2; \infty)$ функция $g(x) = \sqrt{x}$ непрерывна, и функция $h(x) = x-1$ непрерывна и нигде не обращается в ноль. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где знаменатель не равен нулю. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на всем промежутке $[2; \infty)$.

Ответ: Да.

в) Функция $f(x) = x^2 + 2x - 1$ является многочленом (квадратичной функцией). Многочлены непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty; \infty)$. Так как промежуток $[-10; 20]$ является подмножеством числовой прямой, функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Ответ: Да.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = 5x - \sqrt{x}$ на промежутке $(0; \infty)$.
Эта функция является разностью двух функций: $g(x) = 5x$ и $h(x) = \sqrt{x}$.
Функция $g(x) = 5x$ (линейная) непрерывна на $(-\infty; \infty)$.
Функция $h(x) = \sqrt{x}$ непрерывна на своей области определения, то есть на промежутке $[0; \infty)$.
Разность двух непрерывных функций является непрерывной функцией на пересечении их областей непрерывности. Обе функции $g(x)$ и $h(x)$ непрерывны на промежутке $[0; \infty)$.
Так как заданный промежуток $(0; \infty)$ является подмножеством промежутка $[0; \infty)$, функция $f(x)$ непрерывна в каждой точке промежутка $(0; \infty)$.

Ответ: Да.