Страница 112 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

199.— Является ли функция f непрерывной в каждой точке данного промежутка:

а) $f(x) = x^3 - 4x$, $(-\infty; \infty);$

б) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$, $[2; \infty);$

в) $f(x) = x^2 + 2x - 1$, $[-10; 20];$

г) $f(x) = 5x - \sqrt{x}$, $(0; \infty)?$

а) Функция $f(x) = x^3 - 4x$ является многочленом (полиномиальной функцией). Согласно свойству элементарных функций, любой многочлен непрерывен на всей числовой прямой, то есть на промежутке $(-\infty; \infty)$. Следовательно, данная функция непрерывна в каждой точке указанного промежутка.

Ответ: Да.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$ на промежутке $[2; \infty)$.
Функция является частным двух функций: $g(x) = \sqrt{x}$ и $h(x) = x-1$.
Область определения функции находится из условий:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; 1) \cup (1; \infty)$. Точка $x=1$ является точкой разрыва.
Заданный в условии промежуток $[2; \infty)$. Точка разрыва $x=1$ не входит в этот промежуток.
На промежутке $[2; \infty)$ функция $g(x) = \sqrt{x}$ непрерывна, и функция $h(x) = x-1$ непрерывна и нигде не обращается в ноль. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где знаменатель не равен нулю. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на всем промежутке $[2; \infty)$.

Ответ: Да.

в) Функция $f(x) = x^2 + 2x - 1$ является многочленом (квадратичной функцией). Многочлены непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty; \infty)$. Так как промежуток $[-10; 20]$ является подмножеством числовой прямой, функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Ответ: Да.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = 5x - \sqrt{x}$ на промежутке $(0; \infty)$.
Эта функция является разностью двух функций: $g(x) = 5x$ и $h(x) = \sqrt{x}$.
Функция $g(x) = 5x$ (линейная) непрерывна на $(-\infty; \infty)$.
Функция $h(x) = \sqrt{x}$ непрерывна на своей области определения, то есть на промежутке $[0; \infty)$.
Разность двух непрерывных функций является непрерывной функцией на пересечении их областей непрерывности. Обе функции $g(x)$ и $h(x)$ непрерывны на промежутке $[0; \infty)$.
Так как заданный промежуток $(0; \infty)$ является подмножеством промежутка $[0; \infty)$, функция $f(x)$ непрерывна в каждой точке промежутка $(0; \infty)$.

Ответ: Да.

200. К какому числу стремится функция $f$, если:

а) $f(x) = x^2 - 3x + 4, x \to 0, x \to 2;$

б) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}, x \to 1, x \to 4;$

в) $f(x) = 4 - \frac{x}{2}, x \to -2, x \to 0;$

г) $f(x) = 4x - \frac{x^2}{4}, x \to -1, x \to 4?$

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x + 4$. Эта функция является многочленом (квадратичной функцией), а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Это означает, что для нахождения предела функции при $x$, стремящемся к какому-либо числу, мы можем просто подставить это число в выражение функции.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 0$:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 4) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 0 - 0 + 4 = 4$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 2$:
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 4) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$.

Ответ: при $x \rightarrow 0$ функция стремится к 4; при $x \rightarrow 2$ функция стремится к 2.

б) Дана функция $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Эта функция является рациональной. Она определена и непрерывна для всех действительных чисел $x$, так как ее знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль (поскольку $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 1 \geq 1$). Следовательно, предел функции можно найти путем прямой подстановки.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{4}{4^2 + 1} = \frac{4}{16 + 1} = \frac{4}{17}$.

Ответ: при $x \rightarrow 1$ функция стремится к $\frac{1}{2}$; при $x \rightarrow 4$ функция стремится к $\frac{4}{17}$.

в) Дана функция $f(x) = 4 - \frac{x}{2}$. Эта функция является линейной (многочленом первой степени) и, следовательно, непрерывна на всей числовой оси. Предел функции находится прямой подстановкой.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow -2$:
$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (4 - \frac{x}{2}) = 4 - \frac{-2}{2} = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 0$:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (4 - \frac{x}{2}) = 4 - \frac{0}{2} = 4 - 0 = 4$.

Ответ: при $x \rightarrow -2$ функция стремится к 5; при $x \rightarrow 0$ функция стремится к 4.

г) Дана функция $f(x) = 4x - \frac{x^2}{4}$. Эта функция является многочленом (квадратичной функцией) и непрерывна на всей числовой оси. Предел функции можно найти путем прямой подстановки.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow -1$:
$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} (4x - \frac{x^2}{4}) = 4(-1) - \frac{(-1)^2}{4} = -4 - \frac{1}{4} = -4\frac{1}{4}$.

Найдем, к какому числу стремится функция при $x \rightarrow 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (4x - \frac{x^2}{4}) = 4(4) - \frac{4^2}{4} = 16 - \frac{16}{4} = 16 - 4 = 12$.

Ответ: при $x \rightarrow -1$ функция стремится к $-4\frac{1}{4}$; при $x \rightarrow 4$ функция стремится к 12.

201. Известно, что $f(x) \to 1$, $g(x) \to -2$ при $x \to 3$. К какому числу при $x \to 3$ стремится функция:

а) $3f(x) g(x);$

б) $\frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)};$

в) $4f(x) - g(x);$

г) $(3 - g(x)) f(x)?$

Для решения данной задачи мы воспользуемся основными теоремами о пределах (арифметическими свойствами пределов). Из условия нам известно, что предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к 3, равен 1, и предел функции $g(x)$ при $x$, стремящемся к 3, равен -2. Запишем это в виде формул:
$ \lim_{x \to 3} f(x) = 1 $
$ \lim_{x \to 3} g(x) = -2 $

а) $3f(x)g(x)$
Чтобы найти предел этого выражения, воспользуемся теоремой о пределе произведения функций и свойством вынесения постоянного множителя за знак предела:
$ \lim_{x \to 3} (3f(x)g(x)) = 3 \cdot \lim_{x \to 3} (f(x) \cdot g(x)) = 3 \cdot (\lim_{x \to 3} f(x)) \cdot (\lim_{x \to 3} g(x)) $.
Теперь подставим известные значения пределов в полученное выражение:
$ 3 \cdot 1 \cdot (-2) = -6 $.
Ответ: -6.

б) $\frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)}$
Для нахождения предела этой функции используем теорему о пределе частного. Прежде всего, необходимо убедиться, что предел знаменателя не равен нулю.
Найдем предел знаменателя, используя теорему о пределе суммы:
$ \lim_{x \to 3} (f(x)+g(x)) = \lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x) = 1 + (-2) = -1 $.
Поскольку предел знаменателя -1, что не равно нулю, мы можем применить теорему о пределе частного:
$ \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-g(x)}{f(x)+g(x)} = \frac{\lim_{x \to 3} (f(x)-g(x))}{\lim_{x \to 3} (f(x)+g(x))} = \frac{\lim_{x \to 3} f(x) - \lim_{x \to 3} g(x)}{\lim_{x \to 3} f(x) + \lim_{x \to 3} g(x)} $.
Подставим известные значения:
$ \frac{1 - (-2)}{1 + (-2)} = \frac{1+2}{1-2} = \frac{3}{-1} = -3 $.
Ответ: -3.

в) $4f(x)-g(x)$
Для нахождения предела этой функции воспользуемся теоремой о пределе разности и свойством вынесения постоянного множителя:
$ \lim_{x \to 3} (4f(x) - g(x)) = \lim_{x \to 3} (4f(x)) - \lim_{x \to 3} g(x) = 4 \cdot \lim_{x \to 3} f(x) - \lim_{x \to 3} g(x) $.
Подставим известные значения:
$ 4 \cdot 1 - (-2) = 4 + 2 = 6 $.
Ответ: 6.

г) $(3 - g(x))f(x)$
Чтобы найти предел этого выражения, используем теорему о пределе произведения:
$ \lim_{x \to 3} ((3 - g(x))f(x)) = \left(\lim_{x \to 3} (3 - g(x))\right) \cdot \left(\lim_{x \to 3} f(x)\right) $.
Сначала найдем предел первого сомножителя, используя теорему о пределе разности и зная, что предел константы равен самой константе:
$ \lim_{x \to 3} (3 - g(x)) = \lim_{x \to 3} 3 - \lim_{x \to 3} g(x) = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 $.
Теперь подставим найденное значение и известный предел функции $f(x)$ в выражение для предела произведения:
$ 5 \cdot \lim_{x \to 3} f(x) = 5 \cdot 1 = 5 $.
Ответ: 5.

202. Известно, что $f(x) \to 3$, $g(x) \to -0,5$ при $x \to -1$. Найдите число, к которому при $x \to -1$ стремится функция:

а) $\frac{f(x)}{(g(x))^2}$;

б) $(f(x) - g(x))^2$;

в) $(f(x))^2 + 2g(x);

г) $\frac{(g(x))^2}{f(x)-2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами (теоремами) о пределах функций. Нам дано, что предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $-1$, равен 3, а предел функции $g(x)$ при $x$, стремящемся к $-1$, равен $-0,5$. Запишем это в виде формул:

$\lim_{x \to -1} f(x) = 3$

$\lim_{x \to -1} g(x) = -0,5$

Теперь найдём пределы для каждой из предложенных функций.

а) Найдём предел функции $\frac{f(x)}{(g(x))^2}$ при $x \to -1$.

Согласно свойству о пределе частного, предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю. Также, согласно свойству о пределе степени, предел степени функции равен той же степени предела функции.

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(g(x))^2} = \frac{\lim_{x \to -1} f(x)}{\lim_{x \to -1} (g(x))^2} = \frac{\lim_{x \to -1} f(x)}{(\lim_{x \to -1} g(x))^2}$

Подставим известные значения пределов:

$\frac{3}{(-0,5)^2} = \frac{3}{0,25} = 12$

Ответ: 12

б) Найдём предел функции $(f(x) - g(x))^2$ при $x \to -1$.

Используем свойства предела степени и предела разности:

$\lim_{x \to -1} (f(x) - g(x))^2 = \left(\lim_{x \to -1} (f(x) - g(x))\right)^2 = \left(\lim_{x \to -1} f(x) - \lim_{x \to -1} g(x)\right)^2$

Подставим известные значения пределов:

$(3 - (-0,5))^2 = (3 + 0,5)^2 = (3,5)^2 = 12,25$

Ответ: 12,25

в) Найдём предел функции $(f(x))^2 + 2g(x)$ при $x \to -1$.

Используем свойства предела суммы, предела степени и вынесения константы за знак предела:

$\lim_{x \to -1} ((f(x))^2 + 2g(x)) = \lim_{x \to -1} (f(x))^2 + \lim_{x \to -1} (2g(x)) = (\lim_{x \to -1} f(x))^2 + 2 \cdot \lim_{x \to -1} g(x)$

Подставим известные значения пределов:

$3^2 + 2 \cdot (-0,5) = 9 - 1 = 8$

Ответ: 8

г) Найдём предел функции $\frac{(g(x))^2}{f(x) - 2}$ при $x \to -1$.

Сначала проверим предел знаменателя: $\lim_{x \to -1} (f(x) - 2) = \lim_{x \to -1} f(x) - 2 = 3 - 2 = 1$. Так как предел знаменателя не равен нулю, мы можем применить свойство о пределе частного.

$\lim_{x \to -1} \frac{(g(x))^2}{f(x) - 2} = \frac{\lim_{x \to -1} (g(x))^2}{\lim_{x \to -1} (f(x) - 2)} = \frac{(\lim_{x \to -1} g(x))^2}{\lim_{x \to -1} f(x) - 2}$

Подставим известные значения пределов:

$\frac{(-0,5)^2}{3 - 2} = \frac{0,25}{1} = 0,25$

Ответ: 0,25

203.— К какому числу стремится функция:

а) $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3}$ при $x \to 4$;

б) $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7}$ при $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{5 - 2x}{2 + x}$ при $x \to 2$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \to -1?$

а) Чтобы найти, к какому числу стремится функция $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3}$ при $x \to 4$, необходимо найти предел этой функции при $x$, стремящемся к 4.
Поскольку функция является рациональной и точка $x = 4$ входит в её область определения (знаменатель не равен нулю в этой точке), предел можно найти путём прямой подстановки значения $x = 4$ в функцию.
$ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3} = \frac{4^2 + 3 \cdot 4 + 2}{4 - 3} = \frac{16 + 12 + 2}{1} = \frac{30}{1} = 30 $.
Ответ: 30

б) Найдём предел функции $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7}$ при $x \to -1$.
Данная функция непрерывна в точке $x = -1$, так как её знаменатель не обращается в ноль при этом значении: $(-1)^2 - 2(-1) + 7 = 1 + 2 + 7 = 10 \neq 0$.
Следовательно, для нахождения предела достаточно подставить значение $x = -1$ в выражение функции.
$ \lim_{x \to -1} \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x + 7} = \frac{(-1)^3 - 3(-1)}{(-1)^2 - 2(-1) + 7} = \frac{-1 + 3}{1 + 2 + 7} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $\frac{1}{5}$

в) Найдём предел функции $f(x) = \frac{5 - 2x}{2 + x}$ при $x \to 2$.
Функция непрерывна в точке $x = 2$, так как знаменатель не равен нулю при $x=2$: $2 + 2 = 4 \neq 0$.
Вычисляем предел методом прямой подстановки.
$ \lim_{x \to 2} \frac{5 - 2x}{2 + x} = \frac{5 - 2 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{5 - 4}{4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $\frac{1}{4}$

г) Найдём, к какому числу стремится функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \to -1$.
Знаменатель функции $x + 3$ в точке $x = -1$ не равен нулю: $-1 + 3 = 2 \neq 0$. Таким образом, функция непрерывна в этой точке.
Для вычисления предела подставим значение $x = -1$ в функцию.
$ \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(-1)^2 - 9}{-1 + 3} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $.
Ответ: -4

204. С какой точностью найден периметр квадрата, если его сторона измерена с точностью до 0,01 дм?

Пусть $a$ — длина стороны квадрата, а $P$ — его периметр. По условию, сторона квадрата измерена с точностью до 0,01 дм. Это означает, что абсолютная погрешность (максимально возможное отклонение) измерения стороны $\Delta a$ составляет 0,01 дм.

$\Delta a = 0,01$ дм

Периметр квадрата вычисляется по формуле, связывающей его со стороной:

$P = 4a$

Чтобы найти точность, с которой найден периметр, необходимо определить его абсолютную погрешность $\Delta P$. Когда величина вычисляется путем умножения измеренного значения на постоянное число, ее абсолютная погрешность также умножается на это число.

Общее правило для погрешности функции $y = k \cdot x$ выглядит так: $\Delta y = |k| \cdot \Delta x$.

В нашем случае $P = 4a$, где $k=4$. Следовательно, абсолютная погрешность периметра равна абсолютной погрешности стороны, умноженной на 4:

$\Delta P = 4 \cdot \Delta a$

Подставим известное значение абсолютной погрешности стороны:

$\Delta P = 4 \cdot 0,01 \text{ дм} = 0,04 \text{ дм}$

Таким образом, точность, с которой найден периметр квадрата, составляет 0,04 дм.

Ответ: 0,04 дм.

205. С какой точностью достаточно измерить сторону правильного треугольника, чтобы найти его периметр с точностью до 0,03 дм?

Пусть $a$ — длина стороны правильного треугольника (т.е. равностороннего), а $P$ — его периметр. Периметр такого треугольника равен сумме длин трех его одинаковых сторон, поэтому он вычисляется по формуле: $P = a + a + a = 3a$.

Пусть $Δa$ — это абсолютная погрешность (точность) измерения стороны $a$, а $ΔP$ — это абсолютная погрешность вычисления периметра $P$. Погрешность вычисления периметра напрямую зависит от погрешности измерения стороны. Эта зависимость выражается формулой: $ΔP = 3 \cdot Δa$.

По условию задачи, периметр требуется найти с точностью до $0,03$ дм. Это означает, что абсолютная погрешность вычисленного периметра не должна превышать это значение: $|ΔP| \le 0,03$ дм.

Чтобы найти, с какой точностью нужно измерить сторону, подставим в это неравенство выражение, связывающее погрешности: $|3 \cdot Δa| \le 0,03$ дм.

Так как модуль произведения равен произведению модулей, получаем: $3 \cdot |Δa| \le 0,03$ дм.

Теперь выразим искомую точность измерения стороны $|Δa|$, разделив обе части неравенства на 3: $|Δa| \le \frac{0,03}{3}$ дм, $|Δa| \le 0,01$ дм.

Это означает, что для нахождения периметра с точностью до $0,03$ дм, сторону правильного треугольника достаточно измерить с точностью до $0,01$ дм.

Ответ: с точностью до $0,01$ дм.

206. С какой точностью нужно измерить радиус, чтобы вычислить длину окружности с точностью до $0,06 \text{ дм}$?

Длина окружности $C$ и ее радиус $r$ связаны формулой $C = 2 \pi r$.

Погрешность вычисления длины окружности $\Delta C$ зависит от погрешности измерения радиуса $\Delta r$. Для малых погрешностей эта зависимость линейна: $\Delta C = 2 \pi \Delta r$.

По условию задачи, погрешность вычисления длины окружности не должна превышать 0,06 дм, то есть $\Delta C \le 0,06$ дм.

Подставим это в соотношение для погрешностей, чтобы найти максимально допустимую погрешность для радиуса $\Delta r$: $2 \pi \Delta r \le 0,06$

Выразим $\Delta r$: $\Delta r \le \frac{0,06}{2\pi}$ $\Delta r \le \frac{0,03}{\pi}$

Теперь вычислим приблизительное значение. Используя $\pi \approx 3,14159$, получаем: $\Delta r \le \frac{0,03}{3,14159...} \approx 0,009549$ дм.

Это означает, что радиус нужно измерить с погрешностью, не превышающей данное значение. Чтобы гарантировать выполнение условия, можно округлить полученное значение в меньшую сторону. Таким образом, измерение радиуса с точностью до 0,009 дм будет достаточным.

Ответ: радиус нужно измерить с точностью до $\frac{0,03}{\pi}$ дм, что составляет примерно 0,009 дм.