Страница 113 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

207.— Известно, что $f (x) \to A$, $g (x) \to B$ при $x \to a$. Пользуясь правилами предельного перехода, докажите, что:

а) $C f (x) \to C \cdot A$, где $C$ — постоянная;

б) $f (x) - g (x) \to A - B$;

в) $(f (x))^2 - (g (x))^2 \to A^2 - B^2$;

г) $(f (x))^n \to A^n$, где $n \in Z$.

а) Для доказательства того, что $C f(x) \rightarrow C \cdot A$, где $C$ — постоянная, воспользуемся правилом о пределе произведения. Постоянную $C$ можно рассматривать как постоянную функцию $h(x) = C$, предел которой при $x \to a$ равен $C$.
Таким образом, применяя теорему о пределе произведения двух функций, получаем:
$\lim_{x \to a} (C \cdot f(x)) = \left(\lim_{x \to a} C\right) \cdot \left(\lim_{x \to a} f(x)\right)$
По условию $\lim_{x \to a} f(x) = A$, а предел постоянной равен самой постоянной, т.е. $\lim_{x \to a} C = C$. Подставляя эти значения, имеем:
$\lim_{x \to a} (C \cdot f(x)) = C \cdot A$
Ответ: $C f(x) \rightarrow C \cdot A$.

б) Для доказательства того, что $f(x) - g(x) \rightarrow A - B$, представим разность как сумму: $f(x) - g(x) = f(x) + (-1) \cdot g(x)$.
Воспользуемся правилом о пределе суммы и результатом из пункта а).
Сначала, согласно пункту а), найдем предел для функции $-g(x) = (-1) \cdot g(x)$:
$\lim_{x \to a} (-g(x)) = \lim_{x \to a} ((-1) \cdot g(x)) = (-1) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = -B$.
Теперь, применяя правило о пределе суммы:
$\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} (f(x) + (-g(x))) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} (-g(x))$
Подставляя известные значения пределов, получаем:
$\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = A + (-B) = A - B$
Ответ: $f(x) - g(x) \rightarrow A - B$.

в) Для доказательства того, что $(f(x))^2 - (g(x))^2 \rightarrow A^2 - B^2$, воспользуемся алгебраической формулой разности квадратов: $(f(x))^2 - (g(x))^2 = (f(x) - g(x))(f(x) + g(x))$.
Теперь применим правило о пределе произведения:
$\lim_{x \to a} ((f(x))^2 - (g(x))^2) = \lim_{x \to a} [(f(x) - g(x))(f(x) + g(x))] = \left(\lim_{x \to a} (f(x) - g(x))\right) \cdot \left(\lim_{x \to a} (f(x) + g(x))\right)$
Из пункта б) мы знаем, что $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = A - B$.
По правилу о пределе суммы, $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = A + B$.
Перемножив пределы сомножителей, получим:
$\lim_{x \to a} ((f(x))^2 - (g(x))^2) = (A - B)(A + B) = A^2 - B^2$
Ответ: $(f(x))^2 - (g(x))^2 \rightarrow A^2 - B^2$.

г) Для доказательства того, что $(f(x))^n \rightarrow A^n$ для $n \in \mathbb{Z}$, рассмотрим три случая.

Случай 1: $n$ — натуральное число ($n > 0$)
Докажем это утверждение методом математической индукции.
База индукции: при $n = 1$, утверждение очевидно, так как по условию $\lim_{x \to a} (f(x))^1 = A = A^1$.
Индукционное предположение: предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $k \ge 1$, то есть $\lim_{x \to a} (f(x))^k = A^k$.
Индукционный шаг: докажем справедливость утверждения для $n = k + 1$.
$\lim_{x \to a} (f(x))^{k+1} = \lim_{x \to a} ((f(x))^k \cdot f(x))$
Используя правило о пределе произведения:
$\lim_{x \to a} ((f(x))^k \cdot f(x)) = \left(\lim_{x \to a} (f(x))^k\right) \cdot \left(\lim_{x \to a} f(x)\right) = A^k \cdot A = A^{k+1}$
Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Случай 2: $n = 0$
Если $n=0$, то $(f(x))^0 = 1$ (при условии, что $f(x) \neq 0$, что выполняется в окрестности $a$, если $A \neq 0$). Тогда:
$\lim_{x \to a} (f(x))^0 = \lim_{x \to a} 1 = 1$.
Так как $A^0 = 1$ (для $A \neq 0$), то утверждение верно.

Случай 3: $n$ — отрицательное целое число
Пусть $n = -m$, где $m$ — натуральное число. В этом случае необходимо потребовать, чтобы $A \neq 0$, иначе знаменатель будет стремиться к нулю.
$(f(x))^n = (f(x))^{-m} = \frac{1}{(f(x))^m}$
Используя правило о пределе частного:
$\lim_{x \to a} (f(x))^n = \lim_{x \to a} \frac{1}{(f(x))^m} = \frac{\lim_{x \to a} 1}{\lim_{x \to a} (f(x))^m}$
Предел числителя $\lim_{x \to a} 1 = 1$. Предел знаменателя, как показано в случае 1, равен $A^m$.
Следовательно:
$\lim_{x \to a} (f(x))^n = \frac{1}{A^m} = A^{-m} = A^n$.
Объединив все случаи, мы доказали утверждение для любого целого $n$.
Ответ: $(f(x))^n \rightarrow A^n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (при $n \le 0$ предполагается, что $A \neq 0$).