Страница 108 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

193. — Используя формулы дифференцирования, полученные в п. 13, найдите производную функции $f$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = x^3$, $x_0$ равно 2; -1,5;

б) $f(x) = 4 - 2x$, $x_0$ равно 0,5; -3;

в) $f(x) = 3x - 2$, $x_0$ равно 5; -2;

г) $f(x) = x^2$, $x_0$ равно 2,5; -1.

а) Дана функция $f(x) = x^3$. Для нахождения производной воспользуемся формулой дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках $x_0$.

При $x_0 = 2$:

$f'(2) = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

При $x_0 = -1,5$:

$f'(-1,5) = 3 \cdot (-1,5)^2 = 3 \cdot 2,25 = 6,75$.

Ответ: $12$; $6,75$.

б) Дана функция $f(x) = 4 - 2x$. Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных, производная константы равна нулю, а $(kx)' = k$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (4 - 2x)' = (4)' - (2x)' = 0 - 2 = -2$.

Поскольку производная является константой, ее значение не зависит от точки $x_0$.

При $x_0 = 0,5$:

$f'(0,5) = -2$.

При $x_0 = -3$:

$f'(-3) = -2$.

Ответ: $-2$; $-2$.

в) Дана функция $f(x) = 3x - 2$. Найдем ее производную, используя те же правила, что и в предыдущем пункте.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (3x - 2)' = (3x)' - (2)' = 3 - 0 = 3$.

Производная является константой, ее значение одинаково для любой точки.

При $x_0 = 5$:

$f'(5) = 3$.

При $x_0 = -2$:

$f'(-2) = 3$.

Ответ: $3$; $3$.

г) Дана функция $f(x) = x^2$. Найдем ее производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Теперь вычислим значение производной в заданных точках $x_0$.

При $x_0 = 2,5$:

$f'(2,5) = 2 \cdot 2,5 = 5$.

При $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: $5$; $-2$.

194.— Пользуясь определением производной, найдите значения производной функции $f$, если:

а) $f(x) = x^2 - 3x$ в точках -1; 2;

б) $f(x) = 2x^3$ в точках 0; 1;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$ в точках -2; 1;

г) $f(x) = 4 - x^2$ в точках 3; 0.

Для нахождения производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ будем использовать ее определение:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

а) $f(x) = x^2 - 3x$ в точках $-1$; $2$.

Для точки $x_0 = -1$:

1. Найдем значение функции в точке $x_0$: $f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$.

2. Найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(-1 + \Delta x) = (-1 + \Delta x)^2 - 3(-1 + \Delta x) = 1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 3 - 3\Delta x = 4 - 5\Delta x + (\Delta x)^2$.

3. Найдем приращение функции $\Delta f$: $\Delta f = f(-1 + \Delta x) - f(-1) = (4 - 5\Delta x + (\Delta x)^2) - 4 = -5\Delta x + (\Delta x)^2$.

4. Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-5\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-5 + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-5 + \Delta x) = -5$.

Для точки $x_0 = 2$:

1. $f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2$.

2. $f(2 + \Delta x) = (2 + \Delta x)^2 - 3(2 + \Delta x) = 4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2 - 6 - 3\Delta x = -2 + \Delta x + (\Delta x)^2$.

3. $\Delta f = f(2 + \Delta x) - f(2) = (-2 + \Delta x + (\Delta x)^2) - (-2) = \Delta x + (\Delta x)^2$.

4. $f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(1 + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (1 + \Delta x) = 1$.

Ответ: $f'(-1) = -5$; $f'(2) = 1$.

б) $f(x) = 2x^3$ в точках $0$; $1$.

Для точки $x_0 = 0$:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(0 + \Delta x)^3 - 2(0)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2(\Delta x)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 2(\Delta x)^2 = 0$.

Для точки $x_0 = 1$:

$f(1) = 2(1)^3 = 2$.

$f(1 + \Delta x) = 2(1 + \Delta x)^3 = 2(1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 2 + 6\Delta x + 6(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3$.

$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = (2 + 6\Delta x + 6(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3) - 2 = 6\Delta x + 6(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3$.

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6\Delta x + 6(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (6 + 6\Delta x + 2(\Delta x)^2) = 6$.

Ответ: $f'(0) = 0$; $f'(1) = 6$.

в) $f(x) = \frac{1}{x}$ в точках $-2$; $1$.

Для точки $x_0 = -2$:

$\Delta f = f(-2 + \Delta x) - f(-2) = \frac{1}{-2 + \Delta x} - \frac{1}{-2} = \frac{2 - (-2 + \Delta x)}{-2(-2 + \Delta x)} = \frac{4 - \Delta x}{-2(-2 + \Delta x)}$. Ошибка в вычислении. Исправим:

$\Delta f = f(-2 + \Delta x) - f(-2) = \frac{1}{-2 + \Delta x} - (\frac{1}{-2}) = \frac{1}{-2 + \Delta x} + \frac{1}{2} = \frac{2 + (-2 + \Delta x)}{2(-2 + \Delta x)} = \frac{\Delta x}{2(-2 + \Delta x)}$.

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\Delta x}{2(-2 + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{2(-2 + \Delta x)} = \frac{1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}$.

Для точки $x_0 = 1$:

$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = \frac{1}{1 + \Delta x} - 1 = \frac{1 - (1 + \Delta x)}{1 + \Delta x} = \frac{-\Delta x}{1 + \Delta x}$.

$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-\Delta x}{1 + \Delta x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{1 + \Delta x} = -1$.

Ответ: $f'(-2) = -\frac{1}{4}$; $f'(1) = -1$.

г) $f(x) = 4 - x^2$ в точках $3$; $0$.

Для точки $x_0 = 3$:

$\Delta f = f(3 + \Delta x) - f(3) = (4 - (3 + \Delta x)^2) - (4 - 3^2) = 4 - (9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2) - (4 - 9) = 4 - 9 - 6\Delta x - (\Delta x)^2 - (-5) = -5 - 6\Delta x - (\Delta x)^2 + 5 = -6\Delta x - (\Delta x)^2$.

$f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-6\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-6 - \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-6 - \Delta x) = -6$.

Для точки $x_0 = 0$:

$\Delta f = f(0 + \Delta x) - f(0) = (4 - (0 + \Delta x)^2) - (4 - 0^2) = 4 - (\Delta x)^2 - 4 = -(\Delta x)^2$.

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-\Delta x) = 0$.

Ответ: $f'(3) = -6$; $f'(0) = 0$.

195. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$, проходящей через его точку с абсциссой $x_0$, если:

а) $x_0 = -1$;

б) $x_0 = 3$;

в) $x_0 = 0$;

г) $x_0 = 2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для данной функции $f(x) = x^2$ найдем ее производную:$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь найдем уравнения касательных для каждого заданного значения $x_0$.

а) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 = 1$.

2. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):$f'(x_0) = f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = -2$ в уравнение касательной:$y = 1 + (-2)(x - (-1))$
$y = 1 - 2(x + 1)$
$y = 1 - 2x - 2$
$y = -2x - 1$.

Ответ: $y = -2x - 1$.

б) $x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(3) = 3^2 = 9$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 9$ и $f'(x_0) = 6$ в уравнение касательной:$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.

Ответ: $y = 6x - 9$.

в) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 0$ в уравнение касательной:$y = 0 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

г) $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке касания:$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

2. Найдем значение производной в точке касания:$f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 4$ и $f'(x_0) = 4$ в уравнение касательной:$y = 4 + 4(x - 2)$
$y = 4 + 4x - 8$
$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.

196. Пользуясь определением, найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону $x(t)$, в момент $t_0$:

а) $x(t) = -t^2 + 8t$, $t_0 = 6$;

б) $x(t) = 3t^3 + 2$, $t_0 = 2$;

в) $x(t) = \frac{t^2}{4}$, $t_0 = 4$;

г) $x(t) = 5t - 3$, $t_0 = 10$.

Мгновенная скорость $v(t_0)$ точки, движущейся по закону $x(t)$, в момент времени $t_0$ находится как производная функции $x(t)$ в точке $t_0$. Согласно определению производной, мгновенная скорость вычисляется по формуле:

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$

а) $x(t) = -t^2 + 8t$, $t_0 = 6$

1. Найдем приращение функции $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$ в точке $t_0=6$.

Сначала вычислим значение функции в точке $t_0=6$:

$x(6) = -6^2 + 8 \cdot 6 = -36 + 48 = 12$.

Теперь вычислим значение функции в точке $t_0 + \Delta t = 6 + \Delta t$:

$x(6 + \Delta t) = -(6 + \Delta t)^2 + 8(6 + \Delta t) = -(36 + 12\Delta t + (\Delta t)^2) + 48 + 8\Delta t = -36 - 12\Delta t - (\Delta t)^2 + 48 + 8\Delta t = 12 - 4\Delta t - (\Delta t)^2$.

Приращение функции равно:

$\Delta x = x(6 + \Delta t) - x(6) = (12 - 4\Delta t - (\Delta t)^2) - 12 = -4\Delta t - (\Delta t)^2$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(6) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{-4\Delta t - (\Delta t)^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(-4 - \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (-4 - \Delta t) = -4$.

Ответ: -4

б) $x(t) = 3t^3 + 2$, $t_0 = 2$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=2$.

$x(2) = 3 \cdot 2^3 + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26$.

$x(2 + \Delta t) = 3(2 + \Delta t)^3 + 2 = 3(2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \Delta t + 3 \cdot 2 \cdot (\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + 2 = 3(8 + 12\Delta t + 6(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + 2 = 24 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3 + 2 = 26 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3$.

$\Delta x = x(2 + \Delta t) - x(2) = (26 + 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3) - 26 = 36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(2) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{36\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(36 + 18\Delta t + 3(\Delta t)^2)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (36 + 18\Delta t + 3(\Delta t)^2) = 36$.

Ответ: 36

в) $x(t) = \frac{t^2}{4}$, $t_0 = 4$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=4$.

$x(4) = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$x(4 + \Delta t) = \frac{(4 + \Delta t)^2}{4} = \frac{16 + 8\Delta t + (\Delta t)^2}{4} = 4 + 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}$.

$\Delta x = x(4 + \Delta t) - x(4) = (4 + 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}) - 4 = 2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(4) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2\Delta t + \frac{(\Delta t)^2}{4}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta t(2 + \frac{\Delta t}{4})}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2 + \frac{\Delta t}{4}) = 2$.

Ответ: 2

г) $x(t) = 5t - 3$, $t_0 = 10$

1. Найдем приращение функции $\Delta x$ в точке $t_0=10$.

$x(10) = 5 \cdot 10 - 3 = 50 - 3 = 47$.

$x(10 + \Delta t) = 5(10 + \Delta t) - 3 = 50 + 5\Delta t - 3 = 47 + 5\Delta t$.

$\Delta x = x(10 + \Delta t) - x(10) = (47 + 5\Delta t) - 47 = 5\Delta t$.

2. Найдем предел отношения $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ при $\Delta t \to 0$.

$v(10) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 5 = 5$.

Ответ: 5