Страница 101 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

185. Ребро куба $x$ получило приращение $\Delta x$. Найдите приращение площади полной поверхности куба.

Пусть $S(x)$ — это функция, выражающая площадь полной поверхности куба через длину его ребра $x$.

Куб имеет 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $x$. Площадь одной грани равна $x^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба вычисляется по формуле:
$S(x) = 6x^2$

Начальное значение ребра куба равно $x$. Соответствующая площадь поверхности:
$S_1 = S(x) = 6x^2$

Ребро куба получило приращение $\Delta x$. Новая длина ребра стала $x + \Delta x$. Новая площадь поверхности куба $S_2$ будет:
$S_2 = S(x + \Delta x) = 6(x + \Delta x)^2$

Чтобы найти приращение площади $\Delta S$, нужно вычесть из новой площади первоначальную:
$\Delta S = S_2 - S_1 = S(x + \Delta x) - S(x)$
$\Delta S = 6(x + \Delta x)^2 - 6x^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta S = 6(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 6x^2$
$\Delta S = 6x^2 + 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2 - 6x^2$
$\Delta S = 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2$

Ответ: $\Delta S = 12x\Delta x + 6(\Delta x)^2$.

186.— Выразите $ \Delta f $ и $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $ через $ x_0 $ и $ \Delta x $ и преобразуйте полученные выражения:

a) $f(x) = -x^3 + 3x;$

б) $f(x) = \frac{1}{x^2-1};$

в) $f(x) = x^3 - 2x;$

г) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}.$

Общая формула для приращения функции $\Delta f$ в точке $x_0$ имеет вид:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Дана функция $f(x) = -x^3 + 3x$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [-(x_0 + \Delta x)^3 + 3(x_0 + \Delta x)] - [-x_0^3 + 3x_0]$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$\Delta f = -(x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$

$\Delta f = -x_0^3 - 3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$

Приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = -3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3\Delta x$.

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)}{\Delta x} = -3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3$.

Ответ: $\Delta f = \Delta x(3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 - 1} - \frac{1}{x_0^2 - 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{(x_0^2 - 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\Delta f = \frac{x_0^2 - 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{x_0^2 - 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 1}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:

$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [(x_0 + \Delta x)^3 - 2(x_0 + \Delta x)] - [x_0^3 - 2x_0]$.

Раскроем скобки:

$\Delta f = (x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 2x_0 - 2\Delta x - x_0^3 + 2x_0$.

Приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2\Delta x$.

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

Ответ: $\Delta f = \Delta x(3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 + 1} - \frac{1}{x_0^2 + 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{(x_0^2 + 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\Delta f = \frac{x_0^2 + 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{x_0^2 + 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 - 1}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:

$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

187. Найдите среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени $ [t_0; t_0 + \Delta t] $, если известен закон движения:

а) $x(t) = v_0t - \frac{gt^2}{2};$

б) $x(t) = -at + b;$

в) $x(t) = \frac{gt^2}{2};$

г) $x(t) = at - b.$

Средняя скорость $v_{ср}$ — это отношение приращения координаты $\Delta x$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это приращение произошло. По определению, средняя скорость на промежутке времени $[t_0, t_0 + \Delta t]$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{(t_0 + \Delta t) - t_0} = \frac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$

Применим эту формулу для каждого из заданных законов движения.

а) Дан закон движения $x(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

1. Найдем координату точки в начальный момент времени $t_0$:

$x(t_0) = v_0 t_0 - \frac{gt_0^2}{2}$

2. Найдем координату точки в конечный момент времени $t_0 + \Delta t$:

$x(t_0 + \Delta t) = v_0(t_0 + \Delta t) - \frac{g(t_0 + \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки:

$x(t_0 + \Delta t) = v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{g(t_0^2 + 2t_0\Delta t + (\Delta t)^2)}{2} = v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{gt_0^2}{2} - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

3. Вычислим приращение координаты $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$:

$\Delta x = \left(v_0 t_0 + v_0 \Delta t - \frac{gt_0^2}{2} - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}\right) - \left(v_0 t_0 - \frac{gt_0^2}{2}\right)$

$\Delta x = v_0 \Delta t - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

4. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v_0 \Delta t - gt_0\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}}{\Delta t} = v_0 - gt_0 - \frac{g\Delta t}{2}$

Ответ: $v_{ср} = v_0 - gt_0 - \frac{g\Delta t}{2}$

б) Дан закон движения $x(t) = -at + b$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = (-a(t_0 + \Delta t) + b) - (-at_0 + b)$

$\Delta x = -at_0 - a\Delta t + b + at_0 - b = -a\Delta t$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-a\Delta t}{\Delta t} = -a$

Ответ: $v_{ср} = -a$

в) Дан закон движения $x(t) = \frac{gt^2}{2}$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = \frac{g(t_0 + \Delta t)^2}{2} - \frac{gt_0^2}{2}$

$\Delta x = \frac{g(t_0^2 + 2t_0\Delta t + (\Delta t)^2)}{2} - \frac{gt_0^2}{2} = \frac{gt_0^2}{2} + gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2} - \frac{gt_0^2}{2}$

$\Delta x = gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{gt_0\Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}}{\Delta t} = gt_0 + \frac{g\Delta t}{2}$

Ответ: $v_{ср} = gt_0 + \frac{g\Delta t}{2}$

г) Дан закон движения $x(t) = at - b$.

1. Найдем приращение координаты $\Delta x$:

$\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) = (a(t_0 + \Delta t) - b) - (at_0 - b)$

$\Delta x = at_0 + a\Delta t - b - at_0 + b = a\Delta t$

2. Найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{a\Delta t}{\Delta t} = a$

Ответ: $v_{ср} = a$