Страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

180. — Выразите приращение функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $\Delta x$, если:

a) $f(x) = 1 - 3x^2$;

б) $f(x) = ax + b$;

в) $f(x) = 2x^2$;

г) $f(x) = -\frac{1}{x}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ — это разность её значений в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$. Оно вычисляется по формуле:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

а) Для функции $f(x) = 1 - 3x^2$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = 1 - 3x_0^2$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = 1 - 3(x_0 + \Delta x)^2 = 1 - 3(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.
Теперь найдем разность, чтобы получить приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2) - (1 - 3x_0^2)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = 1 - 3x_0^2 - 6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2 - 1 + 3x_0^2 = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.
Ответ: $\Delta f = -6x_0\Delta x - 3(\Delta x)^2$.

б) Для функции $f(x) = ax + b$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = ax_0 + b$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = a(x_0 + \Delta x) + b = ax_0 + a\Delta x + b$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (ax_0 + a\Delta x + b) - (ax_0 + b)$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = ax_0 + a\Delta x + b - ax_0 - b = a\Delta x$.
Ответ: $\Delta f = a\Delta x$.

в) Для функции $f(x) = 2x^2$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = 2x_0^2$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно:
$f(x_0 + \Delta x) = 2(x_0 + \Delta x)^2 = 2(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) = 2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2) - 2x_0^2$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$\Delta f = 2x_0^2 + 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2 - 2x_0^2 = 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.
Ответ: $\Delta f = 4x_0\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

г) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x}$ найдем приращение.
Значение функции в точке $x_0$ равно $f(x_0) = -\frac{1}{x_0}$.
Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$ равно $f(x_0 + \Delta x) = -\frac{1}{x_0 + \Delta x}$.
Найдем приращение функции:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left(-\frac{1}{x_0 + \Delta x}\right) - \left(-\frac{1}{x_0}\right) = \frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_0 + \Delta x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x_0(x_0 + \Delta x)$ и упростим:
$\Delta f = \frac{1 \cdot (x_0 + \Delta x)}{x_0(x_0 + \Delta x)} - \frac{1 \cdot x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{x_0 + \Delta x - x_0}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$.
Ответ: $\Delta f = \frac{\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$.

181. На рисунке 81 изображен график движения автобуса. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени:

а) $[0; 3];$

б) $[3; 5];$

в) $[3,25; 5,25];$

г) $[0; 8].$

$s, \text{км}$

$460$

$280$

$150$

$0$

$t, \text{ч}$

$0$

$3 \frac{3}{4}$

$5 \frac{5}{4}$

$8$

Рис. 81

Средняя скорость движения $v_{ср}$ на некотором промежутке времени вычисляется как отношение пройденного пути $\Delta s$ к длительности этого промежутка $\Delta t$.

Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$

где $s_1$ и $s_2$ — это значения пути в моменты времени $t_1$ и $t_2$ соответственно, которые мы находим по графику.

Из графика находим следующие значения:

• $s(0) = 0$ км
• $s(3) = 150$ км
• $s(3,25) = s(3\frac{1}{4}) = 150$ км
• $s(5) = 280$ км
• $s(5,25) = s(5\frac{1}{4}) = 280$ км
• $s(8) = 460$ км

а) [0; 3]

Найдем среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 0$ ч до $t_2 = 3$ ч.

Длительность промежутка: $\Delta t = 3 - 0 = 3$ ч.

Пройденный путь за это время: $\Delta s = s(3) - s(0) = 150 - 0 = 150$ км.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{150 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

б) [3; 5]

Найдем среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 3$ ч до $t_2 = 5$ ч.

Длительность промежутка: $\Delta t = 5 - 3 = 2$ ч.

Пройденный путь за это время: $\Delta s = s(5) - s(3) = 280 - 150 = 130$ км.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{130 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 65$ км/ч.

Ответ: 65 км/ч.

в) [3,25; 5,25]

Найдем среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 3,25$ ч до $t_2 = 5,25$ ч.

Длительность промежутка: $\Delta t = 5,25 - 3,25 = 2$ ч.

Пройденный путь за это время: $\Delta s = s(5,25) - s(3,25) = 280 - 150 = 130$ км.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{130 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 65$ км/ч.

Ответ: 65 км/ч.

г) [0; 8]

Найдем среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 0$ ч до $t_2 = 8$ ч.

Длительность промежутка: $\Delta t = 8 - 0 = 8$ ч.

Пройденный путь за это время: $\Delta s = s(8) - s(0) = 460 - 0 = 460$ км.

Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{460 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = 57,5$ км/ч.

Ответ: 57,5 км/ч.

182. Точка движется по координатной прямой, причем в любой момент времени $t$ ее координата равна $3 + 12t - t^2$.

На сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток $I$ времени:

а) $[2; 2,5]$;

б) $[7; 8]$;

в) $[4; 5]$;

г) $[6; 8]$?

Чему равна ее средняя скорость за промежуток $I$?

Закон движения точки задан уравнением координаты $x(t) = 3 + 12t - t^2$.

Чтобы найти, на сколько и в каком направлении переместится точка за промежуток времени $I = [t_1; t_2]$, нужно вычислить перемещение $\Delta x = x(t_2) - x(t_1)$.

• Если $\Delta x > 0$, точка переместилась в положительном направлении на величину $|\Delta x|$.
• Если $\Delta x < 0$, точка переместилась в отрицательном направлении на величину $|\Delta x|$.

Средняя скорость за этот же промежуток времени вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$

а) Для промежутка времени $I = [2; 2,5]$.

Начальный момент времени $t_1 = 2$, конечный $t_2 = 2,5$.

Найдем координаты точки в эти моменты:

$x(2) = 3 + 12 \cdot 2 - 2^2 = 3 + 24 - 4 = 23$.

$x(2,5) = 3 + 12 \cdot 2,5 - (2,5)^2 = 3 + 30 - 6,25 = 26,75$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(2,5) - x(2) = 26,75 - 23 = 3,75$.

Поскольку $\Delta x > 0$, перемещение произошло на 3,75 единицы в положительном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 2,5 - 2 = 0,5$.

$v_{ср} = \frac{3,75}{0,5} = 7,5$.

Ответ: Точка переместится на 3,75 в положительном направлении; средняя скорость равна 7,5.

б) Для промежутка времени $I = [7; 8]$.

Начальный момент времени $t_1 = 7$, конечный $t_2 = 8$.

Найдем координаты точки:

$x(7) = 3 + 12 \cdot 7 - 7^2 = 3 + 84 - 49 = 38$.

$x(8) = 3 + 12 \cdot 8 - 8^2 = 3 + 96 - 64 = 35$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(8) - x(7) = 35 - 38 = -3$.

Поскольку $\Delta x < 0$, перемещение произошло на 3 единицы в отрицательном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 8 - 7 = 1$.

$v_{ср} = \frac{-3}{1} = -3$.

Ответ: Точка переместится на 3 в отрицательном направлении; средняя скорость равна -3.

в) Для промежутка времени $I = [4; 5]$.

Начальный момент времени $t_1 = 4$, конечный $t_2 = 5$.

Найдем координаты точки:

$x(4) = 3 + 12 \cdot 4 - 4^2 = 3 + 48 - 16 = 35$.

$x(5) = 3 + 12 \cdot 5 - 5^2 = 3 + 60 - 25 = 38$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(5) - x(4) = 38 - 35 = 3$.

Поскольку $\Delta x > 0$, перемещение произошло на 3 единицы в положительном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 5 - 4 = 1$.

$v_{ср} = \frac{3}{1} = 3$.

Ответ: Точка переместится на 3 в положительном направлении; средняя скорость равна 3.

г) Для промежутка времени $I = [6; 8]$.

Начальный момент времени $t_1 = 6$, конечный $t_2 = 8$.

Найдем координаты точки:

$x(6) = 3 + 12 \cdot 6 - 6^2 = 3 + 72 - 36 = 39$.

$x(8) = 3 + 12 \cdot 8 - 8^2 = 3 + 96 - 64 = 35$.

Перемещение точки:

$\Delta x = x(8) - x(6) = 35 - 39 = -4$.

Поскольку $\Delta x < 0$, перемещение произошло на 4 единицы в отрицательном направлении.

Средняя скорость:

$\Delta t = 8 - 6 = 2$.

$v_{ср} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: Точка переместится на 4 в отрицательном направлении; средняя скорость равна -2.

183. Постройте прямые, проходящие через точку $(1; 3)$ и имеющие угловые коэффициенты:

а) $-1$ и $2$;

б) $\frac{1}{2}$ и $-3$;

в) $3$ и $-2$;

г) $-\frac{1}{2}$ и $-2$.

Выясните в каждом из случаев, какой угол (тупой или острый) образуют эти прямые с осью абсцисс.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$, используется формула уравнения прямой с угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$. В данной задаче точка $(x_0, y_0) = (1, 3)$.

Тип угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, зависит от знака углового коэффициента $k$. Если угловой коэффициент $k$ является тангенсом угла наклона $\alpha$, то:

• если $k > 0$, то $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, и угол является острым;
• если $k < 0$, то $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, и угол является тупым.

а)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -1$:
Уравнение: $y - 3 = -1 \cdot (x - 1) \implies y - 3 = -x + 1 \implies y = -x + 4$.
Так как $k = -1 < 0$, угол, образуемый этой прямой с осью абсцисс, — тупой.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = 2$:
Уравнение: $y - 3 = 2 \cdot (x - 1) \implies y - 3 = 2x - 2 \implies y = 2x + 1$.
Так как $k = 2 > 0$, угол, образуемый этой прямой с осью абсцисс, — острый.

Ответ: Прямая $y = -x + 4$ образует тупой угол, а прямая $y = 2x + 1$ — острый угол.

б)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$:
Уравнение: $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Так как $k = \frac{1}{2} > 0$, угол с осью абсцисс — острый.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -3$:
Уравнение: $y - 3 = -3(x - 1) \implies y - 3 = -3x + 3 \implies y = -3x + 6$.
Так как $k = -3 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ образует острый угол, а прямая $y = -3x + 6$ — тупой угол.

в)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = 3$:
Уравнение: $y - 3 = 3(x - 1) \implies y - 3 = 3x - 3 \implies y = 3x$.
Так как $k = 3 > 0$, угол с осью абсцисс — острый.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -2$:
Уравнение: $y - 3 = -2(x - 1) \implies y - 3 = -2x + 2 \implies y = -2x + 5$.
Так как $k = -2 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = 3x$ образует острый угол, а прямая $y = -2x + 5$ — тупой угол.

г)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$:
Уравнение: $y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$.
Так как $k = -\frac{1}{2} < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -2$:
Уравнение: $y - 3 = -2(x - 1) \implies y - 3 = -2x + 2 \implies y = -2x + 5$.
Так как $k = -2 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ и прямая $y = -2x + 5$ образуют тупые углы.

184.- Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, проходящей через точки с данными абсциссами $x_1$ и $x_2$. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью $Ox$, если:

а) $x_1 = 0, x_2 = 1$;

б) $x_1 = -1, x_2 = -2$;

в) $x_1 = 1, x_2 = 2$;

г) $x_1 = -1, x_2 = 0?

Угловой коэффициент $k$ секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, находится по формуле:

$k = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Для заданной функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2$ найдем значения в точках $x_1$ и $x_2$:

$f(x_1) = \frac{1}{2}x_1^2$

$f(x_2) = \frac{1}{2}x_2^2$

Подставим эти выражения в формулу углового коэффициента и упростим:

$k = \frac{\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{1}{2}(x_2^2 - x_1^2)}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{1}{2}(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_2 - x_1}$

Поскольку точки разные, $x_1 \neq x_2$, мы можем сократить дробь на $(x_2 - x_1)$. В результате получаем общую формулу для углового коэффициента секущей к графику данной функции:

$k = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$

Угол, который образует секущая с положительным направлением оси Ox, определяется знаком углового коэффициента:

• Если $k > 0$, угол острый.
• Если $k < 0$, угол тупой.

Теперь решим для каждого случая.

а) $x_1 = 0, x_2 = 1$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(0 + 1) = \frac{1}{2}$

Так как $k = \frac{1}{2} > 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является острым.

Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{1}{2}$, угол острый.

б) $x_1 = -1, x_2 = -2$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(-1 + (-2)) = \frac{1}{2}(-3) = -\frac{3}{2}$

Так как $k = -\frac{3}{2} < 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является тупым.

Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{3}{2}$, угол тупой.

в) $x_1 = 1, x_2 = 2$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2}$

Так как $k = \frac{3}{2} > 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является острым.

Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{3}{2}$, угол острый.

г) $x_1 = -1, x_2 = 0$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(-1 + 0) = -\frac{1}{2}$

Так как $k = -\frac{1}{2} < 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является тупым.

Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{1}{2}$, угол тупой.