Номер 184, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 184, страница 100.

Условие.

184.- Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, проходящей через точки с данными абсциссами $x_1$ и $x_2$. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью $Ox$, если:

а) $x_1 = 0, x_2 = 1$;

б) $x_1 = -1, x_2 = -2$;

в) $x_1 = 1, x_2 = 2$;

г) $x_1 = -1, x_2 = 0?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Угловой коэффициент $k$ секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, находится по формуле:

$k = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Для заданной функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2$ найдем значения в точках $x_1$ и $x_2$:

$f(x_1) = \frac{1}{2}x_1^2$

$f(x_2) = \frac{1}{2}x_2^2$

Подставим эти выражения в формулу углового коэффициента и упростим:

$k = \frac{\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{1}{2}(x_2^2 - x_1^2)}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{1}{2}(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_2 - x_1}$

Поскольку точки разные, $x_1 \neq x_2$, мы можем сократить дробь на $(x_2 - x_1)$. В результате получаем общую формулу для углового коэффициента секущей к графику данной функции:

$k = \frac{1}{2}(x_1 + x_2)$

Угол, который образует секущая с положительным направлением оси Ox, определяется знаком углового коэффициента:

• Если $k > 0$, угол острый.
• Если $k < 0$, угол тупой.

Теперь решим для каждого случая.

а) $x_1 = 0, x_2 = 1$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(0 + 1) = \frac{1}{2}$

Так как $k = \frac{1}{2} > 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является острым.

Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{1}{2}$, угол острый.

б) $x_1 = -1, x_2 = -2$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(-1 + (-2)) = \frac{1}{2}(-3) = -\frac{3}{2}$

Так как $k = -\frac{3}{2} < 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является тупым.

Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{3}{2}$, угол тупой.

в) $x_1 = 1, x_2 = 2$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2}$

Так как $k = \frac{3}{2} > 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является острым.

Ответ: угловой коэффициент равен $\frac{3}{2}$, угол острый.

г) $x_1 = -1, x_2 = 0$

Находим угловой коэффициент:

$k = \frac{1}{2}(-1 + 0) = -\frac{1}{2}$

Так как $k = -\frac{1}{2} < 0$, угол, образуемый секущей с осью Ox, является тупым.

Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{1}{2}$, угол тупой.