Номер 188, страница 106 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 188, страница 106.

Условие.

188.— Постройте график функции $f$ и проведите к нему касательную, проходящую через точку с абсциссой $x_0$. Пользуясь рисунком, определите знак углового коэффициента этой касательной:

а) $f(x) = x^2 - 2x - 3, x_0 = 0, x_0 = 3, x_0 = 2, x_0 = -1;$

б) $f(x) = \frac{x^2}{2} + 1, x_0 = -2, x_0 = 1, x_0 = -1, x_0 = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a)

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки.

1. Вершина параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Ордината вершины: $y_в = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Таким образом, вершина находится в точке $(1, -4)$. На этом промежутке до $x=1$ функция убывает, а после $x=1$ — возрастает.

2. Точки пересечения с осями координат. С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = -3$. Точка $(0, -3)$. С осью Ox (при $f(x)=0$): $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

Построив параболу по этим точкам, мы можем провести касательные в заданных точках $x_0$ и определить знак их углового коэффициента. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона касательной) положителен, если касательная направлена вверх при движении слева направо (функция возрастает), и отрицателен, если касательная направлена вниз (функция убывает).

Для $x_0 = 0$: Точка касания на графике имеет координаты $(0, -3)$. Поскольку $x_0 = 0 < 1$ (абсцисса вершины), функция в этой точке убывает. Касательная, проведенная в этой точке, будет наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 3$: Точка касания — $(3, 0)$. Поскольку $x_0 = 3 > 1$, функция в этой точке возрастает. Касательная будет наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = 2$: Найдем ординату точки: $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = -3$. Точка касания — $(2, -3)$. Поскольку $x_0 = 2 > 1$, функция в этой точке возрастает. Касательная будет наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = -1$: Точка касания — $(-1, 0)$. Поскольку $x_0 = -1 < 1$, функция в этой точке убывает. Касательная будет наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

б)

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2}{2} + 1$. Графиком этой функции также является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент $1/2 > 0$).

1. Вершина параболы. Функция представлена в виде $f(x) = ax^2+c$, поэтому ее вершина находится в точке $(0, c)$. В нашем случае вершина — $(0, 1)$. Парабола симметрична относительно оси Oy. До $x=0$ функция убывает, после $x=0$ — возрастает.

2. Точки для построения. При $x = \pm 1$, $f(\pm 1) = \frac{1}{2} + 1 = 1.5$. Точки $(1, 1.5)$ и $(-1, 1.5)$. При $x = \pm 2$, $f(\pm 2) = \frac{4}{2} + 1 = 3$. Точки $(2, 3)$ и $(-2, 3)$. График не пересекает ось Ox.

Построив параболу по этим точкам, определим знак угловых коэффициентов касательных.

Для $x_0 = -2$: Точка касания — $(-2, 3)$. Поскольку $x_0 = -2 < 0$ (абсцисса вершины), функция в этой точке убывает. Касательная наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 1$: Точка касания — $(1, 1.5)$. Поскольку $x_0 = 1 > 0$, функция в этой точке возрастает. Касательная наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.

Для $x_0 = -1$: Точка касания — $(-1, 1.5)$. Поскольку $x_0 = -1 < 0$, функция в этой точке убывает. Касательная наклонена вниз.
Ответ: угловой коэффициент отрицательный.

Для $x_0 = 2$: Точка касания — $(2, 3)$. Поскольку $x_0 = 2 > 0$, функция в этой точке возрастает. Касательная наклонена вверх.
Ответ: угловой коэффициент положительный.