Номер 186, страница 101 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 186, страница 101.
№186 (с. 101)
Условие. №186 (с. 101)
скриншот условия

186.— Выразите $ \Delta f $ и $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $ через $ x_0 $ и $ \Delta x $ и преобразуйте полученные выражения:
a) $f(x) = -x^3 + 3x;$
б) $f(x) = \frac{1}{x^2-1};$
в) $f(x) = x^3 - 2x;$
г) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}.$
Решение 1. №186 (с. 101)

Решение 3. №186 (с. 101)


Решение 4. №186 (с. 101)


Решение 5. №186 (с. 101)
Общая формула для приращения функции $\Delta f$ в точке $x_0$ имеет вид:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$
Отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
а)Дана функция $f(x) = -x^3 + 3x$.
Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [-(x_0 + \Delta x)^3 + 3(x_0 + \Delta x)] - [-x_0^3 + 3x_0]$.
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$\Delta f = -(x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$
$\Delta f = -x_0^3 - 3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$
Приведем подобные слагаемые:
$\Delta f = -3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3\Delta x$.
Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:
$\Delta f = \Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)$.
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)}{\Delta x} = -3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3$.
Ответ: $\Delta f = \Delta x(3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2$.
б)Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.
Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 - 1} - \frac{1}{x_0^2 - 1}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta f = \frac{(x_0^2 - 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\Delta f = \frac{x_0^2 - 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{x_0^2 - 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 1}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.
Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:
$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.
Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.
в)Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.
Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [(x_0 + \Delta x)^3 - 2(x_0 + \Delta x)] - [x_0^3 - 2x_0]$.
Раскроем скобки:
$\Delta f = (x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 2x_0 - 2\Delta x - x_0^3 + 2x_0$.
Приведем подобные слагаемые:
$\Delta f = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2\Delta x$.
Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:
$\Delta f = \Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)$.
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.
Ответ: $\Delta f = \Delta x(3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.
г)Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.
Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 + 1} - \frac{1}{x_0^2 + 1}$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\Delta f = \frac{(x_0^2 + 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\Delta f = \frac{x_0^2 + 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{x_0^2 + 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 - 1}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.
Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:
$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.
Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.
Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 186 расположенного на странице 101 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №186 (с. 101), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.