Номер 186, страница 101 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 186, страница 101.

Условие.

186.— Выразите $ \Delta f $ и $ \frac{\Delta f}{\Delta x} $ через $ x_0 $ и $ \Delta x $ и преобразуйте полученные выражения:

a) $f(x) = -x^3 + 3x;$

б) $f(x) = \frac{1}{x^2-1};$

в) $f(x) = x^3 - 2x;$

г) $f(x) = \frac{1}{x^2+1}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Общая формула для приращения функции $\Delta f$ в точке $x_0$ имеет вид:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

а)

Дана функция $f(x) = -x^3 + 3x$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [-(x_0 + \Delta x)^3 + 3(x_0 + \Delta x)] - [-x_0^3 + 3x_0]$.

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$\Delta f = -(x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$

$\Delta f = -x_0^3 - 3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3x_0 + 3\Delta x + x_0^3 - 3x_0$

Приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = -3x_0^2\Delta x - 3x_0(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3 + 3\Delta x$.

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3)}{\Delta x} = -3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 3$.

Ответ: $\Delta f = \Delta x(3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3 - 3x_0^2 - 3x_0\Delta x - (\Delta x)^2$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 - 1} - \frac{1}{x_0^2 - 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{(x_0^2 - 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\Delta f = \frac{x_0^2 - 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{x_0^2 - 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 + 1}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:

$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 - 1)(x_0^2 - 1)}$.

в)

Дана функция $f(x) = x^3 - 2x$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [(x_0 + \Delta x)^3 - 2(x_0 + \Delta x)] - [x_0^3 - 2x_0]$.

Раскроем скобки:

$\Delta f = (x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 2x_0 - 2\Delta x - x_0^3 + 2x_0$.

Приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 2\Delta x$.

Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$\Delta f = \Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - 2)}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

Ответ: $\Delta f = \Delta x(3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2)$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 3x_0^2 - 2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{1}{(x_0 + \Delta x)^2 + 1} - \frac{1}{x_0^2 + 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{(x_0^2 + 1) - ((x_0 + \Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\Delta f = \frac{x_0^2 + 1 - (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 + 1)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{x_0^2 + 1 - x_0^2 - 2x_0\Delta x - (\Delta x)^2 - 1}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель $-\Delta x$ в числителе:

$\Delta f = \frac{-2x_0\Delta x - (\Delta x)^2}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Теперь найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \cdot \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.

Ответ: $\Delta f = \frac{-\Delta x(2x_0 + \Delta x)}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{2x_0 + \Delta x}{((x_0 + \Delta x)^2 + 1)(x_0^2 + 1)}$.