Номер 190, страница 106 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Производная. Глава 2. Производная и её применения - номер 190, страница 106.

Условие.

190.- Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86). Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на графике.

Рис. 86

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Запишите промежутки возрастания и убывания функции (рис. 86).

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх при движении слева направо (с увеличением аргумента x значение функции y увеличивается).
Из графика видно, что функция возрастает на промежутках: $ [a, b] $ и $ [c, d] $.

Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз (с увеличением аргумента x значение функции y уменьшается).
Из графика видно, что функция убывает на промежутках: $ [b, c] $ и $ [d, e] $.

Ответ: Промежутки возрастания: $ [a, b] $ и $ [c, d] $. Промежутки убывания: $ [b, c] $ и $ [d, e] $.

Определите знак углового коэффициента касательной в каждой из точек, отмеченных на графике.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции в точке геометрически представляет собой тангенс угла наклона касательной. Его знак зависит от того, возрастает или убывает функция в данной точке:
• Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и ее угловой коэффициент положителен ($k > 0$).
• Если функция убывает, касательная направлена вниз, и ее угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$).
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов) касательная горизонтальна, и ее угловой коэффициент равен нулю ($k = 0$).

Проанализируем знак коэффициента в каждой из отмеченных точек:
- В точках $a$, $x_1$ и $x_3$ функция возрастает. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этих точках положительный (+).
- В точках $x_2$, $x_4$ и $e$ функция убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этих точках отрицательный (−).
- Точки $b$, $c$ и $d$ являются точками экстремума (b и d — локальные максимумы, c — локальный минимум). Касательная в этих точках горизонтальна, поэтому ее угловой коэффициент равен нулю.

Ответ: в точках $a, x_1, x_3$ знак углового коэффициента — плюс (+); в точках $x_2, x_4, e$ знак — минус (−); в точках $b, c, d$ угловой коэффициент равен 0.