Номер 183, страница 100 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 4. Производная - номер 183, страница 100.

Условие.

183. Постройте прямые, проходящие через точку $(1; 3)$ и имеющие угловые коэффициенты:

а) $-1$ и $2$;

б) $\frac{1}{2}$ и $-3$;

в) $3$ и $-2$;

г) $-\frac{1}{2}$ и $-2$.

Выясните в каждом из случаев, какой угол (тупой или острый) образуют эти прямые с осью абсцисс.

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$, используется формула уравнения прямой с угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$. В данной задаче точка $(x_0, y_0) = (1, 3)$.

Тип угла, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, зависит от знака углового коэффициента $k$. Если угловой коэффициент $k$ является тангенсом угла наклона $\alpha$, то:

• если $k > 0$, то $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, и угол является острым;
• если $k < 0$, то $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, и угол является тупым.

а)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -1$:
Уравнение: $y - 3 = -1 \cdot (x - 1) \implies y - 3 = -x + 1 \implies y = -x + 4$.
Так как $k = -1 < 0$, угол, образуемый этой прямой с осью абсцисс, — тупой.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = 2$:
Уравнение: $y - 3 = 2 \cdot (x - 1) \implies y - 3 = 2x - 2 \implies y = 2x + 1$.
Так как $k = 2 > 0$, угол, образуемый этой прямой с осью абсцисс, — острый.

Ответ: Прямая $y = -x + 4$ образует тупой угол, а прямая $y = 2x + 1$ — острый угол.

б)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$:
Уравнение: $y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Так как $k = \frac{1}{2} > 0$, угол с осью абсцисс — острый.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -3$:
Уравнение: $y - 3 = -3(x - 1) \implies y - 3 = -3x + 3 \implies y = -3x + 6$.
Так как $k = -3 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ образует острый угол, а прямая $y = -3x + 6$ — тупой угол.

в)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = 3$:
Уравнение: $y - 3 = 3(x - 1) \implies y - 3 = 3x - 3 \implies y = 3x$.
Так как $k = 3 > 0$, угол с осью абсцисс — острый.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -2$:
Уравнение: $y - 3 = -2(x - 1) \implies y - 3 = -2x + 2 \implies y = -2x + 5$.
Так как $k = -2 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = 3x$ образует острый угол, а прямая $y = -2x + 5$ — тупой угол.

г)

1. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$:
Уравнение: $y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$.
Так как $k = -\frac{1}{2} < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

2. Для прямой с угловым коэффициентом $k = -2$:
Уравнение: $y - 3 = -2(x - 1) \implies y - 3 = -2x + 2 \implies y = -2x + 5$.
Так как $k = -2 < 0$, угол с осью абсцисс — тупой.

Ответ: Прямая $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ и прямая $y = -2x + 5$ образуют тупые углы.